山东省泰安市2022届高三数学一轮检测（一模）试卷

试卷更新日期：2022-03-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $\frac{z + i}{z} = i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

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2. 设集合 $A = {x ∣ x^{2} - x - 2 \geq 0} ， B = {x ∣ y = \sqrt{x - 1}}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $[2 ， + \infty)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1] ∪ [0 ， + \infty)$ D、 $(- ∞ ， - 1] ∪ [1 ， + ∞)$

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3. 下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（）

A、p： $a > 1$ ， q； $f (x) = l o g_{a} x$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）在 $(0 ， + ∞)$ 上为增函数 B、p： $a > 1$ ， $b > 1$ ， q： $f (x) = a^{x} - b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象不过第二象限 C、p： $x \geq 2$ 且 $y \geq 2$ ， q： $x^{2} + y^{2} \geq 4$ D、p： $a + c > b + d$ ， q： $a > b$ 且 $c > d$

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4. 若双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线被圆 $x^{2} + y^{2} - 4 y + 2 = 0$ 所截得的弦长为2，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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5. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位： $^{∘} C$ ）满足函数关系 $y = e^{k x + b}$ （ $e = 2.718 ⋯$ 为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0 $^{∘} C$ 的保鲜时间是192小时，在22 $^{∘} C$ 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 $^{∘} C$ 的保鲜时间是（）

A、16小时 B、20小时 C、24小时 D、28小时

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6. 已知 $s i n (\frac{π}{3} - α) = \frac{1}{4}$ ，则 $s i n (\frac{π}{6} - 2 α)$ 等于（）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $- \frac{7}{8}$ C、 $\pm \frac{7}{8}$ D、 $- \frac{1}{8}$

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7. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为F，点M在抛物线C上，射线FM与y轴交于点 $A (0 ， 2)$ ，与抛物线C的准线交于点N， $\vec{F M} = \frac{\sqrt{5}}{5} \vec{M N}$ ，则p的值等于（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、2 C、 $\frac{1}{4}$ D、4

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为 $a$ ，公差为1的等差数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1 + a_{n}}{a_{n}}$ ．若对任意的 $n \in N *$ ，都有 $b_{n} ⩾ b_{5}$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 6$ ， $- 5]$ B、 $(- 6 ， - 5)$ C、 $[- 5$ ， $- 4]$ D、 $(- 5 ， - 4)$

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二、多选题

9. 某工厂研究某种产品的产量x（单位：吨）与需求某种材料y（单位：吨）之间的相关关系，在生产过程中收集了4组数据如表所示

x

3

4

6

7

y

2.5

3

4

5.9

根据表中的数据可得回归直线方程 $\hat{y} = 0.7 x + a$ ，则以下正确的是（）

A、变量x与y正相关 B、y与x的相关系数 $r < 0$ C、 $a = 0.35$ D、产量为8吨时预测所需材料约为5.95吨

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ ，将 $y = f (x)$ 的图象上所有点向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度，然后横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象.若 $g (x)$ 为偶函数，且最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $y = f (x)$ 的图象关于 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{5 π}{12})$ 上单调递减 C、 $g (x)$ ≥ $\frac{1}{2}$ 的解为 $[\frac{π}{6} + \frac{k π}{2} ， \frac{π}{3} + \frac{k π}{2}] (k \in Z)$ D、方程 $f (x) = g (\frac{x}{2})$ 在 $(0 ， \frac{5 π}{4})$ 上有2个解

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11. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， D是棱 $A A_{1}$ 的中点， $D C_{1} ⊥ B D$ ，点E在 $B B_{1}$ 上，且 $B B_{1} = 4 B E$ ，则下列结论正确的是（）

A、直线 $D C_{1}$ 与BC所成角为90° B、三棱锥 $D - B C C_{1}$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ C、 $C E ⊥$ 平面 $B C_{1} D$ D、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球的表面积为 $6 π$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{1 - x} - 1 ， x < 1 \\ l n x + x - 1 ， x \geq 1 \end{array}$ ， $g (x) = k x - k$ ， $k \in R$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， 2)$ 上单调递增 B、当 $k = \frac{5}{4}$ 时，方程 $f (x) = g (x)$ 有且只有3个不同实根 C、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， + \infty)$ D、若对于任意的 $x \in R$ ，都有 $(x - 1) (f (x) - g (x)) \leq 0$ 成立，则 $k \in [2 ， + \infty)$

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三、填空题

13. 在 ${(1 - x)}^{4} {(2 x + 1)}^{5}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 的项的系数是.

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14. 如图，在四边形ABCD中， $\vec{A B} = 3 \vec{D C}$ ， E为边BC的中点，若 $\vec{A E} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则 $λ + μ =$ ．

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15. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆和双曲线的公共焦点， $P$ 是它们一个公共点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，椭圆、双曲线的离心率分别为 $e_{1} ， e_{2}$ ，则 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2}$ 的最小值．

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16. 随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分.已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
笔试成绩X
$[40 ， 50)$
$[50 ， 60)$
$[60 ， 70)$
$[70 ， 80)$
$[80 ， 90)$
$[90 ， 100]$
人数
5
10
25
30
20
10
由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中， $μ$ 近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组的数据用该组区间的中点值代替），则 $μ =$ .若 $σ = 12.9$ ，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数（结果四舍五入精确到个位）为.
参考数据：若 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ 则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\frac{- \sqrt{3} c}{a c o s B} = t a n B + t a n A$ .

(1)、求A；

(2)、若D为BC上一点，且 $B C = 3 B D = \sqrt{3} A B$ ， $A D = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知各项均为正数的等差数列 ${a_{n}}$ ， $a_{2} = 5$ ， $2 a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{5} + 2$ 成等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n} (3^{b_{n}} - 1) = 1$ ， $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和， $n \in N^{*}$ ，求证： $T_{n} < l o g_{3} \frac{a_{n + 1}}{a_{1}}$ .

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19. 如图，在五面体ABCDE中，已知 $A C ⊥$ 平面BCD， $E D ∥ A C$ ，且 $A C = B C = 2 E D = 2$ ， $D C = D B = \sqrt{3}$ .

(1)、求证：平面 $A B E ⊥$ 平面ABC；

(2)、求二面角 $A - B E - C$ 的余弦值.

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20. 某工厂“对一批零件进行质量检测.具体检测方案为：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过.假设每件零件为不合格零件的概率为0.1，且每件零件是否为不合格零件之间相互独立.

(1)、若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率；

(2)、已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为150元/件，现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以10元/件按废品处理，若每件零件的修复费用为20元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8，记X为生产一件零件获得的利润，求X的分布列和数学期望.

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上，下顶点分别为A，B，四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的面积和周长分别为2和 $4 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若直线l： $y = k (x + 1)$ （ $k \neq 0$ ）与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中垂线交y轴于M点，且 $△ E M F$ 为直角三角形，求直线l的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = a l n (x + 1) + \frac{x^{2}}{2} - x$ 其中，a为非零实数.

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $f (- x_{1}) + f (x_{2}) > x_{1}$ .

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笔试成绩X	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100]$
人数	5	10	25	30	20	10

x	3	4	6	7
y	2.5	3	4	5.9