山东省济南市2022届高三数学模拟考试试卷（3月）

试卷更新日期：2022-03-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {x | x > 0}$ ，集合 $A = {x | x (x - 1) < 0}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${x | x > 1 ，或 x < 0}$ B、 ${x | x \geq 1 ，或 x \leq 0}$ C、 ${x | x > 1}$ D、 ${x | x \geq 1}$

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2. 已知复数z满足 $z (1 + i) = - i$ （其中i为虚数单位），则z的模为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 某学校于3月12日组织师生举行植树活动，购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种树苗共计1200棵，比例如图所示.高一、高二、高三报名参加植树活动的人数分别为600，400，200，若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配，则高三年级应分得侧柏的数量为（）

A、34 B、46 C、50 D、70

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4. 已知 $s i n (α + \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $s i n 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 函数 $f (x) = x - s i n x$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 我们通常所说的ABO血型系统是由A，B，O三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自于父亲和母亲，其中AA，AO为A型血，BB，BO为B型血，AB为AB型血，OO为O型血.比如：父亲和母亲的基因型分别为AO，AB，则孩子的基因型等可能的出现AA，AB，AO，BO四种结果，已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，不考虑基因突变，则小明是A型血的概率为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. “ $a > b$ ”的一个充分条件是（）

A、 $e^{a - b} > 2$ B、 $l n \frac{a}{b} > 0$ C、 $a^{a} > b^{b}$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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8. 已知直线 $k x - y + 2 k = 0$ 与直线 $x + k y - 2 = 0$ 相交于点P，点 $A (4 ， 0)$ ， O为坐标原点，则 $t a n ∠ O A P$ 的最大值为（）

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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二、多选题

9. $(x + \frac{2}{x})^{6}$ 的展开式中，下列结论正确的是（）

A、展开式共6项 B、常数项为64 C、所有项的系数之和为729 D、所有项的二项式系数之和为64

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10. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，O为正方形A₁B₁C₁D₁的中心，则下列结论正确的是（）

A、 $B O ⊥ A C$ B、 $B O ∥$ 平面 $A C D_{1}$ C、点B到平面 $A C D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、直线BO与直线 $A D_{1}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = | s i n x | + c o s x$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， \sqrt{2}]$ C、 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 不对称

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12. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $M (- 2 ， 0)$ ， $N (2 ， 0)$ ，动点P满足 $| P M | \cdot | P N | = 5$ ，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（）

A、曲线C与y轴的交点为 $(0 ， - 1)$ ， $(0 ， 1)$ B、曲线C关于x轴对称 C、 $△ P M N$ 面积的最大值为2 D、 $| O P |$ 的取值范围是 $[1 ， 3]$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (1 ， 0)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值为.

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14. 已知圆锥的轴截面是一个顶角为 $\frac{2 π}{3}$ ，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为.

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15. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且 $F_{2}$ 是抛物线 $C_{2} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点，若P是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的交点，且 $| P F_{1} | = 7$ ，则 $c o s ∠ P F_{1} F_{2}$ 的值为.

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} + a x + b)}{x^{2}}$ ，对任意非零实数x，均满足 $f (x) = f (- \frac{1}{x})$ .则 $f (- 1)$ 的值为；函数 $f (x)$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{n} = n^{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $b s i n A = \sqrt{3} a c o s B$ .

(1)、求B：

(2)、若D为边AC的中点，且 $B D = \sqrt{7}$ ， $c = 4$ ，求a.

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19. 如图，矩形ABCD中， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ，将 $△ A C D$ 沿AC折起，使得点D到达点P的位置， $P B = \sqrt{3}$ .

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面ABC；

(2)、求直线PC与平面ABC所成角的正弦值.

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20. 第56届世界乒乓球锦标赛将于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮.现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得1分.

(1)、已知某局比赛中双方比分为8：8，此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次，甲发球时甲得分的概率为 $\frac{3}{5}$ ，乙发球时乙得分的概率为 $\frac{1}{2}$ ，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以11：9获胜的概率；

(2)、已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且每局比赛的结果相互独立.两人又进行了X局后比赛结束，求X的分布列与数学期望.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，实轴长为4.

(1)、求C的方程；

(2)、如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点 $P (0 ， t)$ 且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标.

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22. 设函数 $f (x) = a e^{2 x} - 2 e^{x} + 2$ .

(1)、若 $f (x)$ 有两个不同的零点，求实数a的取值范围；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{1}{2} a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - 2 e^{- x}$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $\frac{g (x_{2}) - g (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 2 - \frac{1}{a}$ .

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