山东省烟台市蓬莱区2020-2021学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-03-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 当a为实数时，下列各式中是二次根式的是（）个
$\sqrt{a + 10}$ ， $\sqrt{| a |}$ ， $\sqrt{a^{2}}$ ， $\sqrt{a^{2} - 1}$ ， $\sqrt{a^{2} + 1}$ ， $\sqrt{{(a - 1)}^{2}}$

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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2. 使式子 $\frac{\sqrt{3 - x}}{x}$ 有意义的实数x的取值范围是（　　）

A、x≤3 B、x≤3且x≠0 C、x＜3 D、x＜3且x≠0

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3. 若关于x的一元二次方程 $(a - 2) x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 有实数根，则a的取值范围为（）

A、 $a \geq - 2$ B、 $a \neq 2$ C、 $a > - 2$ 且 $a \neq 2$ D、 $a \geq - 2$ 且 $a \neq 2$

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4. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，E、F分别是 $B C$ 、 $C D$ 两边上的点，不能保证 $△ A B E$ 和 $△ A D F$ 一定全等的条件是（）

A、 $∠ B A F = ∠ D A E$ B、 $E C = F C$ C、 $A E = A F$ D、 $B E = D F$

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5. 下列各式是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{a^{2}}$ B、 $\sqrt{\frac{5}{3}}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{13}$

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6. 下列说法正确的是（）

A、方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 是关于x的一元二次方程 B、方程 $3 x^{2} = 4$ 的常数项是4 C、若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根 D、用配方法解一元二次方程 $y^{2} - 2 y - 19 = 0$ ，可化为 ${(y - 1)}^{2} = 18$

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7. 下列等式成立的是（）

A、 $\sqrt{16} = \pm 4$ B、 $\sqrt[3]{- 8} = 2$ C、 $- a \sqrt{\frac{1}{a}} = \sqrt{- a}$ D、 $- \sqrt{64} = - 8$

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8. 如下图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $A C = 6$ ，过点D作 $D E ⊥ B A$ ，交 $B A$ 的延长线于点E，则线段 $D E$ 的长为（）

A、 $\frac{48}{5}$ B、 $\frac{24}{5}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $4$

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9. 已知m、n是方程 $x^{2} + 5 x - 2 = 0$ 的两个实数根，则 $m^{2} + 6 m + n - 2 m n$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $- 5$ D、 $5$

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10. 如下图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ，点E在 $C D$ 边上，且 $D E = 2 C E$ ，点P是对角线 $A C$ 上的一个动点，则 $P E + P D$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $6$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $9$

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11. 在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）

A、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 36$ B、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 36$ C、 $x (x - 1) = 36$ D、 $x (x + 1) = 36$

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，过对角线交点 $O$ 作 $E F ⊥ A C$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，则 $D E$ 的长是（）

A、1 B、 $\frac{7}{4}$ C、2 D、 $\frac{12}{5}$

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二、填空题

13. 若关于x的一元二次方程 $(k + 3) x^{2} + 5 x + k^{2} + 2 k - 3 = 0$ 的一个根是0，则k的值是．

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14. 若 $\sqrt{a + b - 1} + \sqrt{a - 2} = 0$ ，则 $\sqrt{{(a b)}^{2}}$ 的值是．

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15. 对于实数 $a ， b$ ，定义运算“◎”如下： $a$ ◎ $b$ $= {(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2}$ .若 $(m + 2)$ ◎ $(m - 3)$ $= 24$ ，则 $m =$ .

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16. 四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形 $A B C D$ 的内角，正方形 $A B C D$ 变为菱形 $A B C^{'} D^{'}$ ，若 $∠ D^{'} A B = 30 °$ ，则菱形 $A B C^{'} D^{'}$ 的面积与正方形 $A B C D$ 的面积之比为．

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17. 若 $m = \frac{2013}{\sqrt{2014} - 1}$ ，则 $m^{5} - 2 m^{4} - 2013 m^{3}$ 的值为．

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18. 如图1，分别沿长方形纸片 $A B C D$ 和正方形纸片 $E F G H$ 的对角线 $A C$ 、 $E G$ 剪开，拼成如图2所示的 $▱ A L M N$ ，若中间空白部分四边形 $O P Q R$ 恰好是正方形，且 $▱ A L M N$ 的面积为 $50$ ，则正方形 $E F G H$ 的面积为．

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三、解答题

19. 计算：

(1)、 $(\sqrt{24} - \sqrt{6}) \div \sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{2}}$

(2)、 $\sqrt{{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2}} - \sqrt{3} \times {(2 - π)}^{0} + \frac{4}{\sqrt{3} - 1}$

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20. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x - 1 = 0$

(2)、 $x (2 x - 3) = 4 x - 6$

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21. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点，点 $F$ 、 $G$ 在 $A B$ 上， $E F ⊥ A B$ ， $O G // E F$ ．

(1)、求证：四边形 $O E F G$ 是矩形；

(2)、若 $A D = 10$ ， $E F = 4$ ，求 $O E$ 和 $B G$ 的长．

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22. 求 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ 的值.
解：设x= $\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，两边平方得： $x^{2} = {(\sqrt{3 + \sqrt{5}})}^{2} + {(\sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2} + 2 \sqrt{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}$ ，即 $x^{2} = 3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} + 4$ ，x²=10

∴x= $\pm \sqrt{10}$ .

∵ $\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ＞0，∴ $\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ = $\sqrt{10}$ .

请利用上述方法，求 $\sqrt{4 + \sqrt{7}} + \sqrt{4 - \sqrt{7}}$ 的值.

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23. 已知关于x的方程 $x^{2} - 4 x + k + 1 = 0$ 有两实数根.

(1)、求k的取值范围；

(2)、设方程两实数根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $\frac{3}{x_{1}} + \frac{3}{x_{2}} = x_{1} x_{2} - 4$ ，求实数k的值.

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24. 某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．

(1)、从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

(2)、在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？

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25. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，点E在直线 $B C$ 上，连接 $A E$ 将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 所在直线折叠，点B的对应点是点 $B^{'}$ ，连接 $A B^{'}$ 并延长直线 $D C$ 于点F．

(1)、当点F与点C重合时，如图1，试证明： $D F + B E = A F$ ；

(2)、当点F在 $D C$ 的延长线上时，如图2，当点F在 $C D$ 的延长线上时，如图3，线段 $D F$ 、 $B E$ 、 $A F$ 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

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