湖南省邵阳市、郴州市2022届高三下学期数学3月二模试卷

试卷更新日期：2022-03-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < 2 - x < 4}$ ， $B = {x | x^{2} + x - 6 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 3 < x < 4}$ B、 ${x | - 3 < x < - 2}$ C、 ${x | - 2 < x < 2}$ D、 ${x | 2 < x < 4}$

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2. 若直线 $y = \sqrt{2} x$ 与圆 ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 2 (a > 0)$ 相切，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、3 D、 $2 \sqrt{3}$

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3. 函数 $y = x + \frac{1}{x + 2} (x > - 2)$ 的最小值为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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4. “ ${(a + 1)}^{\frac{1}{2}} < {(2 - a)}^{\frac{1}{2}}$ ”是“ $- 2 < a < \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知函数 $f (x)$ 是R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = l n x + \frac{a}{2 x}$ ，若 $f (e) + f (0) = - 3$ ， $e$ 是自然对数的底数，则 $f (- 1) =$ （）

A、 $e$ B、 $2 e$ C、 $3 e$ D、 $4 e$

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6. 我国18岁的滑雪运动员谷爱凌在第24届北京冬奥会上勇夺“两金一银”，取得了优异的成绩.在某项决赛中选手可以滑跳三次，然后取三次中最高的分数作为该选手的得分，谷爱凌为了取得佳绩，准备采用目前女运动员中最难的动作进行滑跳，设每轮滑跳的成功率为0.4，利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3表示滑跳成功，4，5，6，7，8，9表示滑跳不成功，现以每3个随机数为一组，作为3轮滑跳的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：813，502，659，491，275，937，740，632，845，936.由此估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有1轮成功”的概率为（）

A、0.9 B、0.8 C、0.7 D、0.6

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7. 在流行病学中，基本传染数 $R_{0}$ 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数. $R_{0}$ 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数 $R_{0} = 2$ ，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（）（初始感染者传染 $R_{0}$ 个人为第一轮传染，这 $R_{0}$ 个人每人再传染 $R_{0}$ 个人为第二轮传染……参考数据： $l g 2 \approx 0.3010$ ）

A、42 B、56 C、63 D、70

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8. 设函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增，则 $f (x)$ 在 $(0 ， 2 π)$ 上的零点最多有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、多选题

9. 设复数 $z = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则下列选项正确的有（）

A、 $\bar{z} = c o s \frac{2 π}{3} + i s i n \frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{\bar{z}}{z^{2}} = \frac{1}{2}$ C、 $| \frac{\bar{z}}{z} | = 1$ D、 $z^{3} + {\bar{z}}^{3} = 2$

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10. 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且 $B G ： G C = D H ： H C = 1 ： 2$ ，则（）

A、 $B D ∥$ 平面EGHF B、 $F H ∥$ 平面ABC C、 $A C ∥$ 平面EGHF D、直线GE，HF，AC交于一点

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11. 设函数 $f (x) = 2 l n (1 + x) - \sqrt{1 + 4 x} + 1$ ， $f' (x)$ 是 $f (x)$ 的导数，则（）

A、 $2 l n 1.01 > \sqrt{1.04} - 1$ B、 $f (x)$ 有三个零点 C、 $\forall x \in (0 + 2)$ ， $f' (x) > 0$ D、 $f (x)$ 的最大值是 $2 l n 3 - 2$

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12. 已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ ，过点 $F_{2}$ 作直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，在点P处作双曲线E的切线，与E的两条渐近线分别交于A，B两点，则（）

A、若 $| P F_{1} | + | P F_{1} | = 2$ ，则 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{1}} = 0$ B、若 $\frac{a}{s i n ∠ P F_{1} F_{2}} = \frac{C}{s i n ∠ P F_{1} F_{2}}$ ，则双曲线的离心率 $e \in (1 ， \sqrt{2} + 1]$ C、 $Δ F_{1} P Q$ 周长的最小值为8 D、△AOB（O为坐标原点）的面积为定值

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 2)$ ， $\vec{b} = (n ， 1)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ ，则 $n^{2} =$ .

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14. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{16} = 1 (a > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P在椭圆C上， $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为16，则 $a =$ .

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15. 一次考试后，学校准备表彰在该次考试中排名前10位的同学，其中有2位是高三（1）班的同学，现要选4人去“表彰会”上作报告，若高三（1）班的2人同时参加，则2人作报告的顺序不能相邻，则要求高三（1）班至少有1人参加的作报告的方案共有种.（用数字作答）

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16. 已知A、B、C、D四点都在表面积为100π的球O的表面上，若AD是球O的直径，且 $B C = 3 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，则该三棱锥A－BCD体积的最大值为.

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四、解答题

17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 $\frac{\sqrt{3} b}{a} = \frac{1 - c o s B}{s i n A}$ .

(1)、求B.

(2)、若 $a = 2$ ， $c = 1$ ， _______，求 $| B D |$ .
在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} > 0$ ， $a_{n}^{2} - a_{n - 1}^{2} = 2 n - 1 (n ≥ 2)$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(2)、证明 $\frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{1}{a_{2}^{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}^{2}} < 2$ .

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19. 某跳绳训练队需对队员进行限时的跳绳达标测试.已知队员的测试分数y与跳绳个数x满足如下关系 $y = {\begin{array}{l} 0 ， 0 \leq x < 140 \\ 60 ， 140 \leq x < 160 \\ 80 ， 160 \leq x < 180 \\ 100 ， x \geq 180 \end{array}$ .测试规则：每位队员最多进行两次测试，每次限时1分钟，若第一次测完，测试成绩达到60分及以上，则以此次测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行两次，根据以往的训练效果，教练记录了队员甲在一分钟内时测试的成绩，将数据按 $[120 ， 140)$ ， $[140 ， 160)$ ， $[160 ， 180)$ ， $[180 ， 200]$ 分成4组，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)、计算a值，并根据直方图计算队员甲在1分钟内跳绳个数的平均值；（同一组中的数据用该组区间中点值作为代表）

(2)、将跳绳个数落入各组的频率作为概率，并假设每次跳绳相互独立，X表示队员甲在达标测试中的分数，求X的分布列与期望.

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20. 如图，四棱锥A-BCDE的底面为等腰梯形， $D E ∥ B C$ ，且 $∠ D C B = 45 °$ ， $A B ⊥ A C$ ，平面 $A C D ⊥$ 平面ACB.

(1)、证明： $C D ⊥ A B$ .

(2)、若 $B C = 2 D E = 2 A B = 2$ ，求二面角C-AD-E的大小.

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21. 已知抛物线C的焦点F在 $x$ 轴上，过F且垂直于 $x$ 轴的直线交C于A（点 $A$ 在第一象限），B两点，且 $| A B | = 4$ .

(1)、求C的标准方程.

(2)、已知 $l$ 为C的准线，过 $F$ 的直线 $l_{1}$ 交 $C$ 于M， $N$ （M， $N$ 异于A，B）两点，证明：直线AM， $B N$ 和 $l$ 相交于一点.

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x - a x^{2}$ .

(1)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围，

(2)、若 $l n x_{1} - 2 a x_{1} = l n x_{2} - 2 a x_{2} = 0 (x_{1} > x_{2} > 0)$ ，证明 $0 < \frac{l n x_{1} \cdot l n x_{1}}{l n (x_{1} x_{2})} < \frac{1}{2}$ .

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