河南省济源市、平顶山市、许昌市2022届高三理数第二次质量检测试卷

试卷更新日期：2022-03-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {(x ， y) | {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 0}$ ， $N = {(x ， y) | y = l n (x + 2)}$ ，则 $M ∪ N =$ （）

A、 ${- 1 ， 0}$ B、 ${(- 1 ， 0)}$ C、M D、N

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2. 若复数 $z = \frac{4 + 2 i}{1 - i^{2022}}$ ，则 $| \bar{z} | =$ （）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、10

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3. 若等差数列 ${a_{n}}$ 和等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = - 1$ ， $a_{4} = b_{4} = 8$ ，则 $\frac{a_{2}}{b_{2}} =$ （）

A、－4 B、－1 C、1 D、4

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4. 已知 $α \in (0 ， π)$ ， $s i n α - c o s α = \frac{1}{5}$ ，则 $t a n 2 α + \frac{5 s i n α c o s α}{c o s^{2} α - s i n^{2} α} =$ （）

A、 $\frac{36}{7}$ B、12 C、－12 D、 $- \frac{36}{7}$

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{- x}}$ ，若 $f (l g (l o g_{3} 10)) = a$ ，则 $f (l g (l g 3)) =$ （）

A、 $e^{a - 1}$ B、 $3 a - 1$ C、 $e^{1 - 3 a}$ D、 $1 - a$

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6. “中国天眼”射电望远镜的反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆面为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积 $S = 2 π R h$ ，其中R为球的半径， $h$ 为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当 $C = 2 \sqrt{10} π$ ， $S = 14 π$ 时， $\frac{r}{R} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{10}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$

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7. 甲乙丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则（）

A、 $E (X) = E (Y)$ ， $D (X) = D (Y)$ B、 $E (X) = E (Y)$ ， $D (X) \neq D (Y)$ C、 $E (X) \neq E (Y)$ ， $D (X) \neq D (Y)$ D、 $E (X) \neq E (Y)$ ， $D (X) = D (Y)$

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8. 如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且 $A C ∥ O B$ ， $O P = A B = \sqrt{2} O A$ ，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} s i n (π x + \frac{π}{4})$ 与函数 $g (x) = \sqrt{2} c o s (π x + \frac{π}{4})$ 在区间 $[- \frac{9}{4} ， \frac{3}{4}]$ 上的图像交于A，B，C三点，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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10. 已知函数 $f (x) = e^{x} (x + a e^{x})$ 恰有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则a的取值范围是（）

A、 $(- 3 ， - 1)$ B、 $(- 3 ， - \frac{1}{2})$ C、 $(- 1 ， - \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$

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11. 过双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (b > a > 0)$ 的下焦点 $F (0 ， - c) (c > 0)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线，切点为E，延长FE交抛物线 $x^{2} = 4 c y$ 于点P，O为坐标原点，若 $\vec{O E} = \frac{1}{2} (\vec{O F} + \vec{O P})$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

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12. 已知 $a = \frac{11}{111}$ ， $b = e^{- \frac{89}{100}}$ ， $c = l n \frac{111}{100}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $b > a > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，满足 $\vec{a} = (- 1 ， \sqrt{3})$ ， $| \vec{b} | = 4$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影为．

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14. 在 ${(a x - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，且所有项的系数之和为0，则含 $x^{6}$ 的项的系数为（用数字作答）．

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15. 已知P是椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上的动点，且不在坐标轴上， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线上一点，且 $\vec{F_{1} M} \cdot \vec{M P} = 0$ ，则 $| \vec{O M} |$ 的取值范围是．

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16. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，满足 $S_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} = \frac{n + 2}{n} S_{n} ， n \in N_{+}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，满足 $b_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot a_{n}}{(2 n - 1) (2 n + 1)}$ ，则 $T_{2022} =$ ．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{2 b - c}{a} = \frac{c o s C}{c o s A}$ ， $a = 4$ ．

(1)、求角A；

(2)、若点D在边AC上，且 $\vec{B D} = \frac{1}{4} \vec{B A} + \frac{3}{4} \vec{B C}$ ，求△BCD面积的最大值．

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18. 为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为 $\hat{y} = 4.7 x - 9459.2$ ，且销量y的方差为 $s_{y}^{2} = 50$ ，年份x的方差为 $s_{x}^{2} = 2$ ．
附：（i）线性回归方程： $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
（ii）相关系数： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，相关系数 $| r | \in [0.75 ， 1]$ 时相关性较强， $| r | \in (0.25 ， 0.75)$ 时相关性一般， $| r | \in [0 ， 0.25]$ 时相关性较弱．
（iii）
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

(1)、求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；

(2)、该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表：

购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
30
20
50
女性
15
35
50
总计
45
55
100
能否有99.5%的把握认为购买电动汽车与性别有关？

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19. 如图，在三棱锥D—ABC中，G是△ABC的重心，E，F分别在BC，CD上，且 $B E = \frac{1}{2} E C$ ， $D F = \frac{1}{2} F C$ ．

(1)、证明：平面 $G E F ∥$ 平面ABD；

(2)、若 $C D ⊥$ 平面ABC， $A B ⊥ B C$ ， $A C = C D = 2$ ， $B C = 1$ ， P是线段EF上一点，当线段GP长度取最小值时，求二面角 $P - A D - C$ 的余弦值．

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20. 如图，圆 $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$ 与抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 相交于点A、B、C、D，且 $A B / / C D$ ．

(1)、若抛物线的焦点为 $F$ ， $N$ 为其准线上一点， $O$ 是坐标原点， $\vec{O F} \cdot \vec{O N} = - 1$ ，求抛物线的方程；

(2)、设 $A C$ 与BD相交于点 $G$ ， $△ G A D$ 与 $△ G B C$ 组成蝶形（如图所示的阴影区域）的面积为 $S$ ，求点 $G$ 的坐标及 $S$ 的最大值．

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21. 设函数 $f (x) = x s i n x + c o s x + a x^{2}$ ．

(1)、当 $a = - \frac{1}{4}$ 时，求 $f (x)$ 在 $(- π ， π)$ 上的单调区间；

(2)、记 $g (x) = f (x) - a x^{2} - c o s x - \frac{1}{3} t a n x$ ，讨论函数 $g (x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 上的零点个数．

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22. 在直角坐标系xOy中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{2}}{2} t ， \\ y = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} t ， \end{array}$ （t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ^{2} (1 + 3 s i n^{2} θ) = 4$ ．

(1)、写出直线 $l$ 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线C交于P，Q两点，PQ中点为M，A（1，0），求 $\frac{| A P | + | A Q |}{| A M |}$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 4 | - | x - 1 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $\exists x_{0} \in R$ ，使 $f (x_{0}) - a x_{0} + 4 = 0$ ，求实数a的取值范围．

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	购买非电动汽车	购买电动汽车	总计
男性	30	20	50
女性	15	35	50
总计	45	55	100