河南省济源市、平顶山市、许昌市2021-2022学年高三文数第二次质量检测试卷

试卷更新日期：2022-03-28 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x | < 2}$ ， $B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${- 2 ， 0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 若 $z \cdot i = 1 + i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、1 D、-1

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3. 若等差数列 ${a_{n}}$ 和等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = - 1$ ， $a_{4} = b_{4} = 8$ ，则 $\frac{a_{2}}{b_{2}} =$ （）

A、－4 B、－1 C、1 D、4

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4. 搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，精准点火发射后约582秒，进入预定轨道，发射取得圆满成功．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 $v$ （单位：m/s）和燃料的质量M（单位：kg）、火箭的质量m（除燃料外，单位：kg）的函数关系是 $v = 2000 l n (1 + \frac{M}{m})$ ．当火箭的最大速度为11.5km/s时， $\frac{M}{m}$ 约等于（）（参考数据： $e^{5.75} \approx 314$ ）

A、313 B、314 C、312 D、311

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5. 已知 $α \in (0 ， π)$ ， $s i n α - c o s α = \frac{1}{5}$ ，则 $t a n 2 α + \frac{5 s i n α c o s α}{c o s^{2} α - s i n^{2} α} =$ （）

A、 $\frac{36}{7}$ B、12 C、－12 D、 $- \frac{36}{7}$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{- x}}$ ，若 $f (l g (l o g_{3} 10)) = a$ ，则 $f (l g (l g 3)) =$ （）

A、 $e^{a - 1}$ B、 $3 a - 1$ C、 $e^{1 - 3 a}$ D、 $1 - a$

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7. 右图是一张“春到福来”的剪纸窗花，为了估计深色区域的面积，将窗花图案放置在边长为 $20 c m$ 的正方形内，在该正方形内随机生成1000个点，恰有535个点落在深色区域内，则此窗花图案中深色区域的面积约为（）

A、 $168 c m^{2}$ B、 $214 c m^{2}$ C、 $248 c m^{2}$ D、 $336 c m^{2}$

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8. 已知点A（1，2）在圆C： $x^{2} + y^{2} + m x - 2 y + 2 = 0$ 外，则实数m的取值范围为（）

A、 $(- 3 ， - 2) ∪ (2 ， + \infty)$ B、 $(- 3 ， - 2) ∪ (3 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， + \infty)$ D、 $(- 3 ， + \infty)$

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9. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} s i n (π x + \frac{π}{4})$ 与函数 $g (x) = \sqrt{2} c o s (π x + \frac{π}{4})$ 在区间 $[- \frac{9}{4} ， \frac{3}{4}]$ 上的图像交于A，B，C三点，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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10. “中国天眼”射电望远镜的反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆面为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积 $S = 2 π R h$ ，其中R为球的半径， $h$ 为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当 $C = 2 \sqrt{10} π$ ， $S = 14 π$ 时， $\frac{r}{R} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{10}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$

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11. 过双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (b > a > 0)$ 的下焦点 $F (0 ， - c) (c > 0)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线，切点为E，延长FE交抛物线 $x^{2} = 4 c y$ 于点P，O为坐标原点，若 $\vec{O E} = \frac{1}{2} (\vec{O F} + \vec{O P})$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

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12. 已知 $a = \frac{11}{111}$ ， $b = e^{- \frac{89}{100}}$ ， $c = l n \frac{111}{100}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $b > a > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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二、填空题

13. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \leq 4 ， \\ x + y \geq 2 ， \\ y \geq 1 ， \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的最大值为．

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14. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ ．

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15. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，满足 $S_{n} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$ ， $n \in N_{+}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，满足 $b_{n} = \frac{a_{n}}{4 n^{3} - n}$ ，则 $T_{2022} =$ ．

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16. 已知P是椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上的动点，且不在坐标轴上， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线上一点，且 $\vec{F_{1} M} \cdot \vec{M P} = 0$ ，则 $| \vec{O M} |$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中 $c = 4$ ，且满足 $a c o s C = c s i n A$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $2 s i n (B + \frac{π}{4}) = c - 2 \sqrt{3} c o s A$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，随机抽样调查某市2015~2021年的家庭平均教育支出，得到如下折线图．（附：年份代码1~7分别对应的年份是2015~2021）．
经计算得 $\sum_{i = 1}^{7} y_{i} = 259$ ， $\sum_{i = 1}^{7} t_{i} y_{i} = 1178$ ， $\sqrt{7} \approx 2.65$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 27$ ， $\sum_{i = 1}^{7} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y}) = 126$ ．

(1)、用线性回归模型拟合y与t的关系，求出相关系数r（精确到0.01），并指出是哪一层次的相关性？

(2)、建立y关于t的回归方程；

(3)、若2022年该市某家庭总支出为10万元，预测该家庭教育支出约为多少万元？
附：（i）相关系数： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ；相关系数 $| r | \in [0.75 ， 1]$ 时相关性较强， $| r | \in (0.25 ， 0.75)$ 时相关性一般， $| r | \in [0 ， 0.25]$ 时相关性较弱．
（ii）线性回归方程： $\hat{y} = \hat{b} t + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$

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19. 如图， $△ A B C$ 内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形， $D C ⊥$ 平面ABC， $A B = 2$ ， $C D = \sqrt{2}$ ．

(1)、证明：平面 $A D C ⊥$ 平面ADE；

(2)、求三棱锥A－CBE体积的最大值．

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20. 如图，圆 $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$ 与抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 相交于点A、B、C、D，且 $A B / / C D$ ．

(1)、若抛物线的焦点为 $F$ ， $N$ 为其准线上一点， $O$ 是坐标原点， $\vec{O F} \cdot \vec{O N} = - 1$ ，求抛物线的方程；

(2)、设 $A C$ 与BD相交于点 $G$ ， $△ G A D$ 与 $△ G B C$ 组成蝶形（如图所示的阴影区域）的面积为 $S$ ，求点 $G$ 的坐标及 $S$ 的最大值．

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21. 已知函数 $f (x) = x e^{x} + a (x + l n x)$ ．

(1)、当 $a = - 2 e^{2}$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a < 0$ 时，若函数 $f (x)$ 的最小值为M，求证： $M \leq 1$ ．

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22. 在直角坐标系xOy中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{2}}{2} t ， \\ y = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} t ， \end{array}$ （t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ^{2} (1 + 3 s i n^{2} θ) = 4$ ．

(1)、写出直线 $l$ 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线C交于P，Q两点，PQ中点为M，A（1，0），求 $\frac{| A P | + | A Q |}{| A M |}$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 4 | - | x - 1 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $\exists x_{0} \in R$ ，使 $f (x_{0}) - a x_{0} + 4 = 0$ ，求实数a的取值范围．

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