河南省大联考2021-2022学年高中毕业班理数阶段性测试（五）试卷

试卷更新日期：2022-03-28 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 4}$ ， $B = {x | {(x - 1)}^{2} \geq 4}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）

A、 $[3 ， 4]$ B、 $[1 ， 4]$ C、 $[1 ， 3)$ D、 $[3 ， + \infty)$

查看试题解析
2. 已知a， $b \in R$ ，且复数 $z = \frac{a - b i}{1 + i} + i \in R$ ，则（）

A、 $a + b = 0$ B、 $a + b = 2$ C、 $a - b = 0$ D、 $a - b = 2$

查看试题解析
3. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x$ ，则下列函数图象关于点 $(1 ， 0)$ 对称的是（）

A、 $f (x - 1) + s i n π x$ B、 $f (x + 1) + s i n π x$ C、 $f (x - 1) + c o s π x$ D、 $f (x + 1) + c o s π x$

查看试题解析
4. 红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差．用一款红外体温计测量一位体温为36.9℃的人时，显示体温X服从正态分布 $N (36.9 ， \frac{0.05}{n})$ ，若X的值在 $(36.6 ， 37.2)$ 内的概率约为0.9973，则n的值约为（）
参考数据：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (| X - μ | < 3 σ) \approx 0.9973$ ．

A、4 B、5 C、6 D、7

查看试题解析
5. 将函数 $y = 2 c o s x$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向右平 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到函数 $f (x)$ 的图象，则 $f (x)$ 的图象的一条对称轴方程为（）

A、 $x = \frac{11 π}{12}$ B、 $x = \frac{5 π}{12}$ C、 $x = - \frac{5 π}{12}$ D、 $x = - \frac{7 π}{12}$

查看试题解析
6. 设 $a = l n 10 ， b = \sqrt{l n 10} ， c = l n \sqrt{10}$ 则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

查看试题解析
7. 某艺术馆有一间边长为10m的正方形展厅，设计师准备在展厅地面铺设深浅两种颜色边长均为1m的正方形瓷砖．如图，先在一个墙角铺一块深色瓷砖（左上角），然后在这块砖外侧铺一层浅色瓷砖，再在浅色瓷砖外侧铺一层深色瓷砖……像这样一层一层向外，两种颜色相间铺设，直到铺满整个展厅．若在这个展厅内随机抛一枚硬币（大小忽略不计），则硬币最后落在深色瓷砖上的概率为（）

A、 $\frac{9}{20}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{11}{20}$ D、 $\frac{13}{20}$

查看试题解析
8. 已知过点 $P (a ， 1)$ 可以作曲线 $y = l n x$ 的两条切线，则实数a的取值范围是（）

A、 $(– \infty ， e)$ B、 $(0 ， e)$ C、 $[0 ， e)$ D、 $(0 ， e - 1)$

查看试题解析
9. 已知 ${(x^{2} - x + 1)}^{n} {(x^{2} + \frac{1}{x})}^{n - 1}$ 的展开式中各项系数和为4，则 $x^{4}$ 的系数为（）

A、16 B、8 C、0 D、-12

查看试题解析
10. 已知球面被平面所截得的部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高，若球的半径是R，球冠的高是h，则球冠的面积为 $2 π R h$ ．某机械零件的结构是在一个圆台的底部嵌入一颗小球，其正视图和侧视图均如图所示，已知圆台的任意母线均与小球的表面相切，则小球突出圆台部分的球冠面积为（）

A、 $25 π$ B、 $25 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{25 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{100}{3} π$

查看试题解析
11. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左、右焦点，M为双曲线右支上的一点，若以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与 $△ F_{1} M F_{2}$ 的内切圆的相交弦所在直线方程为 $8 x + 2 y - 41 = 0$ ，则 $△ F_{1} M F_{2}$ 的内切圆的半径为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， x < 0 ， \\ \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} (a + 1) x^{2} + a x ， x \geq 0 ， \end{array}$ 若方程 $f (x) = a x - \frac{1}{48}$ 恰有3个不同的实根，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(- \frac{1}{2} ， 2)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1)$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知非零向量 $\vec{a} = (– m ， m) ， \vec{b} = (1 ， m)$ 满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ ．

查看试题解析
14. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x - 4 y + 3 \leq 0 \\ 4 x + 5 y - 16 \leq 0 \\ x \geq 2 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的最大值为．

查看试题解析
15. 已知数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} 2^{1 + a_{n}} ， n 为奇数 \\ 1 + l o g_{2} a_{n} ， n 为偶数 \end{array}$ ，则 $\frac{a_{n + 2}}{a_{n} a_{n + 1}}$ 的最大值为．

查看试题解析
16. 在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD为正方形， $A A_{1} = 2 A B = 2$ ．点P在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内，满足 $A_{1} C ⊥$ 平面BDP，设点P到平面ABCD的距离为 $h_{1}$ ，到CD的距离为 $h_{2}$ ，则 $h_{1} + h_{2}$ 的最小值为．

查看试题解析

三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} b s i n \frac{B + C}{2} = a s i n B$ ．

(1)、求A；

(2)、若D为 $A C$ 的中点，E为 $∠ B A C$ 的平分线与 $B C$ 的交点，且 $B D = A C$ ，求 $\frac{C E}{B E}$ 的值．

查看试题解析
18. 某西红柿种植户将90箱西红柿批发给当地一家超市，超市采购员对每箱西红柿进行两次检测，每箱西红柿第一次检测通过的概率为 $\frac{2}{3}$ ，第二次检测通过的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且两次检测结果互不影响．至少通过一次检测即可定为“优等品”；否则就是“普通品”．

(1)、假设优等品每箱批发价为80元，普通品每箱批发价为40元，记一箱西红柿的批发价为 $X$ 元，求 $X$ 的数学期望，并估计这90箱西红柿的批发总价；

(2)、为了对西红柿进行合理定价，超市对近5天的日销量 $y_{i}$ 和单价 $x_{i}$ （ $i =$ 1，2，3，4，5）进行了统计，得到一组数据如表所示：
销售单价 $x_{i}$ （元/kg）
5
6
7
8
9
日销量 $y_{i}$ （kg）
150
135
110
95
75
根据表中所给数据，用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程，并预测当西红柿单价为12元/kg时，该超市西红柿的日销量．
参考公式：线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} y_{i} = 565$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 3765$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 255$ ．

查看试题解析
19. 如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，四边形ABCD为矩形，平面 $A B C D ⊥$ 平面ABE， $A B = 5$ ， $B E = B C = 4$ ， $A E = 3$ ， F为棱CE的中点，P为棱AB上一点（不含端点）．

(1)、求证： $B F ⊥$ 平面ACE；

(2)、若平面PCE和平面ACE所成锐二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{9}}{9}$ ，求AP的长．

查看试题解析
20. 在直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 与直线 $l ： x = m y + 1$ 交于M，N两点，P为MN的中点．

(1)、若 $m < 0$ ，且N在x轴下方，求 $t a n ∠ O P N$ 的最大值；

(2)、设A，B为椭圆的左、右顶点，证明：直线AN，BM的交点D恒在一条定直线上．

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - \frac{a}{2} x (x + 2) - 1 (a \in R)$ ．

(1)、若 $x = - 1$ 为 $f (x)$ 的极小值点，求a的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 有唯一的极值 $- \frac{1}{e} - 1$ ，证明： $\forall x \geq - 1$ ， $f (x) + 1 \geq s i n x$ ．

查看试题解析
22. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 4 c o s^{2} α \\ y = 4 s i n α c o s α \end{array}$ （ $α$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2} = - 4 x$ ，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{6} (ρ \in R)$ ，直线m的极坐标方程为 $θ = \frac{2 π}{3} (ρ \in R)$ ．

(1)、求 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、设 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 与l分别交于M，N两点，与m分别交于P，Q两点，且M，N，P，Q均不与原点重合，求以M，N，P，Q为顶点的四边形的面积．

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 2 | - | x - 1 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \geq 5$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \leq 2 | x - a |$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

查看试题解析

销售单价 $x_{i}$ （元/kg）	5	6	7	8	9
日销量 $y_{i}$ （kg）	150	135	110	95	75