河北省邯郸市2022届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2022-03-28 类型：高考模拟

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一、单选题

1. $\frac{3 - i}{1 - i} =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $2 + i$ C、 $2 + 4 i$ D、 $4 + 2 i$

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2. 已知集合 $A = {x | (x^{2} - 1) (x - 2) < 0}$ ， $B = {x | x + 2 > 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < 2}$ B、 ${x | - 2 < x < 1$ 或 $1 < x < 2}$ C、 ${x | - 2 < x < - 1$ 或 $- 1 < x < 2}$ D、 ${x | - 2 < x < - 1$ 或 $1 < x < 2}$

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3. 已知具有线性相关的变量x，y，设其样本点为 $A_{i} (x_{i} ， y_{i})$ $(i = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， 8)$ ，回归直线方程为 $\hat{y} = - 2 x + \hat{a}$ ，若 $\sum_{i = 1} x_{i} = 12$ ， $\sum_{i = 1} y_{i} = 16$ ，则 $\hat{a} =$ （）

A、5 B、3 C、1 D、-1

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4. 已知 $t a n α = - 3$ ，则 $\frac{s i n^{3} α - s i n α}{s i n (α + \frac{π}{2})} =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $- \frac{3}{10}$

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5. 第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行，现要安排三名男志愿者和两名女志愿者去国家高山滑雪馆､国家速滑馆､首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆，且每个场馆最少安排一名志愿者，若两名女志愿者分派到同一个场馆，则不同的分配方法有（）

A、24种 B、36种 C、56种 D、68种

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6. 已知直线 $x - y + m = 0$ 与圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + 4 y = 0$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = 0$ ，则 $m$ 的值为（）

A、-4或0 B、-4或4 C、0或4 D、-4或2

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7. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有一个相关的问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为（）

A、132 B、133 C、134 D、135

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8. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，则满足 $△ P F_{1} F_{2}$ 为直角三角形的点 $P$ 有（）

A、2个 B、4个 C、6个 D、8个

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二、多选题

9. 如图，O是正六边形 $A B C D E F$ 的中心，则（）

A、 $\vec{A D} = 2 \vec{C B}$ B、 $\vec{O B} + \vec{O D} + \vec{O F} = \vec{0}$ C、 $\vec{A D} - \vec{A F} + \vec{D C} = \vec{C F}$ D、 $\vec{O A} \cdot \vec{O C} = \vec{O B} \cdot \vec{O D}$

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10. 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且 $B G ： G C = D H ： H C = 1 ： 2$ ，则（）

A、 $B D ∥$ 平面EGHF B、 $F H ∥$ 平面ABC C、 $A C ∥$ 平面EGHF D、直线GE，HF，AC交于一点

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11. 已知函数 $f (x) = | s i n x | s i n x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为周期函数 B、 $y = f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， 1]$ D、 $f (x)$ 在 $(- 2 π ， - \frac{3 π}{2})$ 上单调递增

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12. 下列大小关系正确的是（）

A、 $1 . 9^{2} < 2^{1.9}$ B、 $2^{2.9} < 2 . 9^{2}$ C、 $\frac{2^{l n 2}}{2^{l n 2} - 1} < \frac{2^{\sqrt{2}}}{2^{\sqrt{2}} - 1}$ D、 $l o g_{7} 4 < l o g_{12} 7$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ 的图象在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程为.

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14. 不等式 $1 0^{x} - 6^{x} - 3^{x} \geq 1$ 的解集为.

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15. 已知A、B、C、D四点都在表面积为100π的球O的表面上，若AD是球O的直径，且 $B C = 3 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，则该三棱锥A－BCD体积的最大值为.

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16. 已知点 $P$ 在双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的右支上， $A (0 ， 2)$ ，动点 $B$ 满足 $| A B | = 2$ ， $F$ 是双曲线的右焦点，则 $| P F | - | P B |$ 的最大值为.

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四、解答题

17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 $\frac{\sqrt{3} b}{a} = \frac{1 - c o s B}{s i n A}$ .

(1)、求B.

(2)、若 $a = 2$ ， $c = 1$ ， _______，求 $| B D |$ .
在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 在一次活动课上，老师准备了4个大小完全相同的红包，其中只有一个红包里面有100元，其余三个里面都是白纸.老师邀请甲上台随机抽取一个红包，但不打开红包，然后老师从剩下的三个红包中拿走一个装有白纸的红包，甲此时可以选择将自己选中的红包与剩下的两个红包中的一个进行置换.

(1)、若以获得有100元的红包概率的大小作为评判的依据，甲是否需要选择置换？请说明理由.

(2)、以（1）中的结果作为置换的依据，记 $X$ 表示甲获得的金额，求 $X$ 的分布列与期望.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = A B = A D = 2$ ， $A B C D$ 为平行四边形， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， E，F分别是BC， $P C$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A E F ⊥$ 平面PAD.

(2)、求二面角 $F - A E - D$ 的余弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{1}}{a_{1} - 1} + \frac{a_{2}}{a_{2} - 1} + \frac{a_{3}}{a_{3} - 1} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{n}}{a_{n} - 1} = \frac{2}{a_{n} - 1}$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{1 - a_{n}}{a_{n}}}$ 为等比数列.

(2)、已知 $b_{n} = a_{n} (a_{n + 1} - 1)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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21. 已知抛物线C的焦点F在 $x$ 轴上，过F且垂直于 $x$ 轴的直线交C于A（点 $A$ 在第一象限），B两点，且 $| A B | = 4$ .

(1)、求C的标准方程.

(2)、已知 $l$ 为C的准线，过 $F$ 的直线 $l_{1}$ 交 $C$ 于M， $N$ （M， $N$ 异于A，B）两点，证明：直线AM， $B N$ 和 $l$ 相交于一点.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + (1 - a) x - a l n x + \frac{e^{2}}{2}$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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