贵州省黔东南州2022届高三理数一模考试试卷

试卷更新日期：2022-03-28 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若 $z = \frac{i^{2}}{1 + i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$

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2. 下列四组集合中，满足 $M ∪ N = {x | - 1 \leq x \leq 8}$ 的是（）

A、 $M = {x | - 1 \leq x < 9} ， N = {x | - 2 \leq x \leq 8}$ B、 $M = {x | - 1 \leq x \leq 9} ， N = {x | 0 \leq x < 8}$ C、 $M = {x | 1 < x \leq 8} ， N = {x | - 1 \leq x \leq 4}$ D、 $M = {x | - 1 \leq x < 1} ， N = {x | 1 < x \leq 8}$

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3. 设P为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上一点， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是C的左，右焦点．若 $| P F_{1} | - | P F_{2} | = 1$ ，则 $| P F_{1} | =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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4. 3月12日是植树节，某地区有375人参与植树，植树的树种及数量的折线图如图所示．植树后，该地区农业局根据树种用分层抽样的方法抽取75棵树，请专业人士查看植树的情况，则被抽取的柳树的棵数为（）

A、20 B、25 C、40 D、50

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5. 已知几何体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是正方体，则（）

A、 $A D / /$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ B、在直线 $B B_{1}$ 上存在一点E，使得 $A E ⊥ C D$ C、 $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ D、在直线 $D D_{1}$ 上存在一点E，使得 $C E / /$ 平面 $A_{1} B C_{1}$

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6. 设a，b，c分别为 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边．已知 $a = 5 b s i n B ， A = \frac{π}{6}$ ，则 $c o s B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\pm \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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7. 一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式 $s = t^{2} (4 t - 3)^{3}$ ，则当 $t = 1$ 时，该质点的瞬时速度为（）

A、5米/秒 B、8米/秒 C、14米/秒 D、16米/秒

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8. 若函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $(0 ， \frac{1}{2})$ 内存在唯一的 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = - 1$ ，则 $ω$ 的值不可能是（）

A、 $\frac{7 π}{3}$ B、 $\frac{10 π}{3}$ C、 $4 π$ D、 $\frac{19 π}{3}$

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9. 若定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) + f (1 - x) = 6$ ，则 $f (4) =$ （）

A、-6 B、6 C、-12 D、12

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10. 东方明珠广播电视塔是上海的标志性文化景观之一，塔高约468米，上球体的直径为45米，且上球体的球心O到塔底的距离与塔高的比值为黄金分割比(约为0.618)．若P为上球体球面上一点，且 $P O$ 与地平面(塔顶与O的连线垂直地平面)所成的角为 $30 °$ ， P在上球体的上半部分，则P到地平面的距离约为（）

A、297米 B、300米 C、303米 D、306米

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11. 设 $a = l o g_{2} 3 ， b = l o g_{4} x ， c = l o g_{8} 65$ ，若这三个数中b既不是最小的也不是最大的，则x的取值范围是（）

A、 $(9 ， 6 5^{\frac{2}{3}})$ B、 $(3 ， 6 5^{\frac{1}{3}})$ C、 $[9 ， 6 5^{\frac{2}{3}}]$ D、 $[3 ， 6 5^{\frac{1}{3}}]$

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，直线 $x = 2 a$ 与C交于A、B两点（A在B的上方）， $\vec{D A} = \vec{A B}$ ，点E在y轴上，且 $E A ∥ x$ 轴．若 $△ B D E$ 的内心到y轴的距离为 $\frac{4 a}{3}$ ，则C的离心率为（）.

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{10}$

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二、填空题

13. ${(x^{2} - \frac{1}{3 x})}^{6}$ 展开式的中间项为．

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14. 已知 $\vec{i} ， \vec{j}$ 是互相垂直的单位向量，设向量 $\vec{a} = \vec{i} + 3 \vec{j} ， \vec{b} = 2 \vec{i} - \vec{j}$ ，且 $\vec{a} ⊥ (m \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $m =$ ．

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15. 如图所示的平面区域（阴影部分）由一个半圆和两个全等的直角三角形组成（含边界），若点 $P (x ， y)$ 是该区域内任意一点， $z = x - y$ ，则z的最小值为， z的最大值为．

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16. 已知函数 $f (x) = t a n 2 x + 2 t a n (π - x) - 1$ ．若 $t a n α = 2$ ，则 $f (α) =$ ；若 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4})$ ，则 $f (x)$ 零点的个数为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n} - 2^{n}}$ 的前n项和为 $n^{2} - 2^{n + 1} + 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} \cdot 2^{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图， $A B ⊥$ 平面 $A D E$ ， $A D ⊥$ 平面 $A B E$ ， $C F ∥ A E$ ， $C F < A E$ ，且 $E ， F$ 均在平面 $A B C D$ 的同侧．

(1)、证明：平面 $C D F ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(2)、若四边形 $A B C D$ 为梯形， $B C ∥ A D ， A D = 3 ， A B = B C = A E = 2$ ，且异面直线 $B E$ 与 $D F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求四棱锥 $F - A B C D$ 的体积．

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19. 某夜市街上有“十元套圈”小游戏，游戏规则为每个顾客支付十元便可获得3个套圈，顾客使用套圈所套得的奖品，即归顾客所有．奖品分别摆放在1，2，3三个相互间隔的区域中，且1，2，3三个区域的奖品价值分别为5元，15元，20元，每个套圈只能使用一次，每次至多能套中一个．小张付十元参与这个游戏，假设他每次在1，2，3三个区域套中奖品的概率分别为0.6，0.2，0.1，且每次的结果互不影响．

(1)、求小张分别在1，2，3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率．

(2)、若分别在1，2，3三个区域各套一次为方案甲，所获奖品的总价值为X元；在2区域连套三次为方案乙，所获奖品的总价值为Y元．以三次所套奖品总价值的数学期望为依据，小张应该选择方案甲还是方案乙？

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20. 已知直线 $y = 3$ 与曲线 $C ： x^{2} + 2 p y = 0$ 的两个公共点之间的距离为 $4 \sqrt{6}$ ．

(1)、求C的方程．

(2)、设P为C的准线上一点，过P作C的两条切线，切点为A，B，直线 $P A ， P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且直线 $P A ， P B$ 与y轴分别交于M，N两点，直线 $A B$ 的斜率为 $k_{0}$ ．证明： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值，且 $k_{1} ， k_{0} ， k_{2}$ 成等差数列．

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21. 已知函数 $f (x) = x^{4} - a l n x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > - 1$ 时， $f (2^{x + 1}) > 1$ 恒成立，求a的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - t^{2} + 4 ， \\ y = t^{3} - t \end{array}$ （t为参数且 $t > 0$ ）．C与x轴．y轴分别交于A，B两点．

(1)、求 $| A B |$ ；

(2)、以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求以线段 $O B$ 为直径的圆的极坐标方程．

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23. 已知函数 $f (x) = | 3 x - 1 | + | 3 x + 3 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq 11$ 的解集．

(2)、若 $a + b = 1$ ，证明： $f (a) + f (b) \geq 10$ ．

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