贵州省名校联盟2022届高三理数3月大联考试卷

试卷更新日期：2022-03-28 类型：高考模拟

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一、单选题

1. $i (1 + 2 i^{3})$ 的实部为（）

A、-2 B、0 C、1 D、2

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2. $s i n (- \frac{π}{12}) c o s \frac{π}{12} =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 定义集合 $A - B = {x | x \in A$ 且 $x \notin B}$ .已知集合 $U = {x \in Z | - 2 < x < 6}$ ， $A = {0 ， 2 ， 4 ， 5}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 3}$ ，则 $∁_{U} (A - B)$ 中元素的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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4. 曲线 $y = x^{6} - x$ 在点 $(1 ， 0)$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 4 x - 4$ B、 $y = 5 x - 5$ C、 $y = 6 x - 6$ D、 $y = 7 x - 7$

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5. 某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：千件）的影响.现收集了近5年的年宣传费x（单位：万元）和年销售量y（单位：千件）的数据，其数据如下表所示，且y关于x的线性回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x - 8.2$ ，则下列结论错误的是（）
x
4
6
8
10
12
y
1
5
7
14
18

A、x，y之间呈正相关关系 B、 $\hat{b} = 2.15$ C、该回归直线一定经过点 $(8 ， 7)$ D、当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件

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6. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P A = A B$ ， $A D = \sqrt{3} A B$ ，则二面角 $P - C D - B$ 的大小为（）

A、30° B、45° C、60° D、75°

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7. 执行如图所示的程序框图，若输出的 $S = 0$ ，则输入的实数x的取值共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 已知函数 $f (x) = l g x$ ，现有下列四个命题：
① $f (2)$ ， $f (\sqrt{10})$ ， $f (5)$ 成等差数列；② $f (2)$ ， $f (4)$ ， $f (8)$ 成等差数列；③ $f (2)$ ， $f (12)$ ， $f (72)$ 成等比数列；④ $f (2)$ ， $f (4)$ ， $f (16)$ 成等比数列.其中所有真命题的序号是（）

A、①② B、②③ C、①②③ D、①②④

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9. 已知 $| \vec{O A} | = | \vec{A B} | = 2$ ， $| \vec{O B} | = 1$ ，则 $| \vec{O A} + 3 \vec{O B} | =$ （）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{15}$

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10. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图象如图所示，现将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 在区间 $[\frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$ 上的值域为（）

A、 $[- \sqrt{2} ， 2]$ B、 $[- 1 ， \sqrt{2}]$ C、 $[0 ， \sqrt{2}]$ D、 $[0 ， 2]$

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11. 为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种.该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（）

A、2940种 B、3000种 C、3600种 D、5880种

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12. 已知A，B是曲线 $| x | - 1 = \sqrt{4 - {(y - 1)}^{2}}$ 上两个不同的点， $C (0 ， 1)$ ，则 $| C A | + | C B |$ 的最大值与最小值的比值是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、填空题

13. 已知 $f (x)$ 为奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， 0 < x \leq 2 \\ x + 2 ， x > 2 \end{array}$ ，则 $\frac{f (- 4)}{f (1)} =$ .

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14. $△ A B C$ 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知 $4 s i n^{2} C = s i n^{2} A$ ， $c o s B = - \frac{5}{16}$ ，则 $\frac{c}{b} =$ .

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15. 如图，某款酒杯容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是 $16 \sqrt{3} c m^{2}$ 的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为 $c m^{3}$ .

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16. 设P为椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{8} + y^{2} = 1$ 和双曲线 $N ： x^{2} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的一个公共点，且P在第一象限，F是M的左焦点，则M的离心率为， $| P F | =$ .

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三、解答题

17. 一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位： $m m$ ）服从正态分布 $N (200 ， σ^{2})$ ，且 $P (z \leq 210) = 0.9$ .

(1)、求 $z < 190$ 的概率；

(2)、若从该条生产线上随机选取2个零件，设X表示零件尺寸小于 $190 m m$ 的零件个数，求X的分布列与数学期望.

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18. 已知 $1^{2} + 2^{2} + \cdot \cdot \cdot + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ ，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = n^{2} + 2 n + 1$ ， $a_{1} = 1$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2 n + 1}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $B_{1}$ 在底面 $A B C$ 内的射影恰好是点C，点D是 $A C$ 的中点，且 $D A = D B$ .

(1)、证明： $A B ⊥ C C_{1}$ ；

(2)、已知 $A C = 4$ ， $B C = 2$ ， $B_{1} C = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $B B_{1}$ 与平面 $B D C_{1}$ 所成角的正弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + 1) l n x (a \neq - 1)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq (a^{2} - a) l n x$ 对 $x \in (1 ， + \infty)$ 恒成立，求a的取值范围.

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21. 在直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与直线 $l ： x = 4$ 交于P，Q两点，且 $O P ⊥ O Q$ .抛物线C的准线与x轴点交于点M，G是以M为圆心， $| O M |$ 为半径的圆上的一点（非原点），过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、求 $△ A B G$ 面积的取值范围.

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22. 在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中著名的有笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 $ρ = 1 - s i n θ$ $(0 \leq θ < 2 π ， ρ \geq 0)$ ， $M$ 为该曲线上一动点.

(1)、当 $| O M | = \frac{1}{2}$ 时，求 $M$ 的直角坐标；

(2)、若射线 $O M$ 逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ 后与该曲线交于点 $N$ ，求 $△ O M N$ 面积的最大值.

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23. 已知正数a，b，c，d满足 $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 1$ ，证明：

(1)、 $0 < a c + b d \leq \frac{1}{2}$ ；

(2)、 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{4}{c^{2}} + \frac{4}{d^{2}} \geq 36$ .

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