广东省广州市2022届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2022-03-28 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | - 1 \leq x \leq 1}$ ， $B = {x | 0 \leq x \leq 2}$ ，则 $A ∩ B$ 的子集个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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2. 若复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ ，则 $| z - i | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、4 D、5

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3. 甲，乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（）

A、在这5天中，甲，乙两人加工零件数的极差相同 B、在这5天中，甲，乙两人加工零件数的中位数相同 C、在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数 D、在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差

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4. 曲线 $y = x^{3} + 1$ 在点 $(- 1 ， a)$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 3 x + 3$ B、 $y = 3 x + 1$ C、 $y = - 3 x - 1$ D、 $y = - 3 x - 3$

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5. $(x + 3 y) (x - 2 y)^{6}$ 的展开式中 $x^{5} y^{2}$ 的系数为（）

A、60 B、24 C、-12 D、-48

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6. 若函数 $y = f (x)$ 的大致图象如图，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{2 x} + 1}$ B、 $f (x) = \frac{e^{2 x} + 1}{x^{2} e^{x}}$ C、 $f (x) = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{2 x} - 1}$ D、 $f (x) = \frac{e^{2 x} - 1}{x^{2} e^{x}}$

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7. 设抛物线 $E ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，过点 $M (4 ， 0)$ 的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上， $| B F | = 3$ ，则 $△ B C F$ 与 $△ A C F$ 的面积之比 $\frac{S_{△ B C F}}{S_{△ A C F}} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{7}$

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8. 若正实数a，b满足 $a > b$ ，且 $l n a \cdot l n b > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $l o g_{a} b < 0$ B、 $a - \frac{1}{b} > b - \frac{1}{a}$ C、 $2^{a b + 1} < 2^{a + b}$ D、 $a^{b - 1} < b^{a - 1}$

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二、多选题

9. 已知直线 $l ： x + y - \sqrt{2} = 0$ 与圆 $C ： (x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ ，则（）

A、直线 $l$ 与圆C相离 B、直线 $l$ 与圆C相交 C、圆C上到直线 $l$ 的距离为1的点共有2个 D、圆C上到直线 $l$ 的距离为1的点共有3个

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10. 将函数 $y = s i n 2 x$ 的图象向右平移 $φ$ 个单位，得到函数 $y = f (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、若 $φ = \frac{π}{4}$ ，则 $y = f (x)$ 是偶函数 B、若 $φ = \frac{π}{4}$ ，则 $y = f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递减 C、若 $φ = \frac{π}{2}$ ，则 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称 D、若 $φ = \frac{π}{2}$ ，则 $y = f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增

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11. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， $A D = 4$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、若直线 $A C_{1}$ 与直线CD所成的角为 $φ$ ，则 $t a n φ = \frac{5}{2}$ B、若经过点A的直线 $l$ 与长方体所有棱所成的角相等，且 $l$ 与面 $B C C_{1} B_{1}$ 交于点M，则 $A M = \sqrt{29}$ C、若经过点A的直线m与长方体所有面所成的角都为θ，则 $s i n θ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若经过点A的平面β与长方体所有面所成的二面角都为 $μ$ ，则 $s i n μ = \frac{\sqrt{6}}{3}$

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12. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段 $(\frac{1}{3} ， \frac{2}{3})$ ，记为第1次操作：再将剩下的两个区间 $[0 ， \frac{1}{3}]$ ， $[\frac{2}{3} ， 1]$ 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作： $⋯$ ；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的区间长度记为 $φ (n)$ ，则（）

A、 $\frac{φ (n + 1)}{φ (n)} = \frac{3}{2}$ B、 $l n [φ (n)] + 1 < 0$ C、 $φ (n) + φ (3 n) > 2 φ (2 n)$ D、 $n^{2} φ (n) \leq 64 φ (8)$

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三、填空题

13. 若 $s i n α = \frac{3}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $t a n α =$ .

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14. 已知菱形ABCD的边长为2， $∠ A B C = 60 °$ ，点P在BC边上（包括端点），则 $\vec{A D} \cdot \vec{A P}$ 的取值范围是.

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15. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的棱AP，AB，AC两两互相垂直， $A P = A B = A C = 2 \sqrt{3}$ ，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于.

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16. 如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于-2的位置”的概率为.

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四、解答题

17. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ 分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ 中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列
第二列
第三列
第一列
3
2
3
第二列
4
6
5
第三列
9
12
8

(1)、写出 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ ，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n} + (- 1)^{n} l o g_{2} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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18. △ $A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ $A B C$ 的面积为 $(\frac{1}{2} a^{2} - b^{2}) s i n C$ .

(1)、证明： $s i n A = 2 s i n B$ ；

(2)、若 $a c o s C = \frac{3}{2} b$ ，求 $c o s A$ .

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19. 如图，在五面体ABCDE中， $A D ⊥$ 平面ABC， $A D / / B E$ ， $A D = 2 B E$ ， $A B = B C$ .

(1)、求证：平面 $C D E ⊥$ 平面ACD；

(2)、若 $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = 2$ ，五面体ABCDE的体积为 $\sqrt{2}$ ，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值.

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20. 人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表.
月份x
1
2
3
4
5
销售量y（万件）
4.9
5.8
6.8
8.3
10.2
该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型： $\hat{y} = \hat{u} x^{2} + \hat{v}$ .
参考公式：对于一组数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， ⋯ ， (x_{n} ， y_{n})$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程（ $\hat{u}$ 的值精确到0.1）；

(2)、已知该公司的月利润z（单位：万元）与x，y的关系为 $z = 24 \sqrt{x} - \frac{5 y + 2}{\sqrt{x}}$ ，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？

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21. 在平面直角坐标系xOy中，已知点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ ，点M的轨迹为曲线C.

(1)、求C的方程；

(2)、已知点 $F (1 ， 0)$ ，直线 $l ： x = 4$ 与x轴交于点D，直线AM与 $l$ 交于点N，是否存在常数λ，使得 $∠ M F D = λ ∠ N F D$ ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + s i n x - c o s x$ ， $f^{^{'}} (x)$ 为 $f (x)$ 的导数.

(1)、证明：当 $x \geq 0$ 时， $f^{'} (x) \geq 2$ ；

(2)、设 $g (x) = f (x) - 2 x - 1$ ，证明： $g (x)$ 有且仅有2个零点.

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	第一列	第二列	第三列
第一列	3	2	3
第二列	4	6	5
第三列	9	12	8

月份x	1	2	3	4	5
销售量y（万件）	4.9	5.8	6.8	8.3	10.2