甘肃省2022届高三下学期理数第一次高考诊断考试试卷

试卷更新日期：2022-03-28 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | l o g_{\frac{1}{3}} x > 1}$ ， $B = {x | x < 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | x < \frac{1}{3}}$ B、 ${x | 0 < x < \frac{1}{3}}$ C、 ${x | \frac{1}{3} < x < 4}$ D、 ${x | x < 4}$

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2. 复数 $z = i (1 - i)$ ( $i$ 为虚数单位)的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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3. 2021年7月下旬某省遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐款5000万元物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐．下图为该品牌服饰某分店1—8月的销量（单位：件）情况．以下描述不正确的是（）

A、这8个月销量的极差为4132 B、这8个月销量的中位数2499 C、这8个月中2月份的销量最低 D、这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份

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4. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，点C，D是半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上的两个三等分点， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B D} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b}$ B、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$ D、 $- \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$

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5. “ $c o s x = 1$ ”是“ $s i n x = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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6. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $\frac{π}{2}$ B、直线 $x = - \frac{π}{6}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 D、 $f (x)$ 的单调递减区间是 $[2 k π + \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Ζ)$

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7. 定义在R上的奇函数 $f (x)$ ，满足 $f (8 + x) = f (- 4 - x)$ ，且当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = - 3^{x} + 1$ ，则 $f (2022) =$ （）

A、-8 B、-2 C、2 D、8

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8. 直线 $y = k x (k \in R)$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 相交于A，B两点，若将x轴下方半平面沿着x轴翻折，使之与上半平面成直二面角，则 $| A B |$ 的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{2} ， \sqrt{6})$ B、 $[2 ， 2 \sqrt{6}]$ C、 $(2 ， 2 \sqrt{6}]$ D、 $(2 ， 6]$

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9. 在直角△ABC中， $B C = a$ ， $A C = b$ ， $A B = c$ ，且 $a > b > c$ ，分别以BC，AC，AB所在直线为轴，将△ABC旋转一周，形成三个几何体，其表面积和体积分别记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 和 $V_{1}$ ， $V_{2}$ ， $V_{3}$ ，则它们的关系为（）

A、 $S_{1} > S_{2} > S_{3}$ ， $V_{1} > V_{2} > V_{3}$ B、 $S_{1} < S_{2} < S_{3}$ ， $V_{1} < V_{2} < V_{3}$ C、 $S_{1} > S_{2} > S_{3}$ ， $V_{1} = V_{2} = V_{3}$ D、 $S_{1} < S_{2} < S_{3}$ ， $V_{1} = V_{2} = V_{3}$

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10. 已知以圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 的圆心为焦点的抛物线 $C_{1}$ 与圆在第一象限交于 $A$ 点， $B$ 点是抛物线 $C_{2}$ ： $x^{2} = 8 y$ 上任意一点， $B M$ 与直线 $y = - 2$ 垂直，垂足为 $M$ ，则 $| B M | - | A B |$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、-1 D、8

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11. 线段AB上任取一点C，若 $A C^{2} = A B \cdot B C$ ，则点C是线段AB的“黄金分割点”，以AC，BC为邻边组成的矩形称为“黄金矩形”．现在线段AB上任取一点C，若以AC，BC为邻边组成矩形，则该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积的概率为（）

A、 $3 - \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{5} - 2$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $3 - \sqrt{7}$

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12. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 + c o s \frac{π x}{2} ， x > 1 ， \\ x^{2} ， 0 < x \leq 1 ， \end{array}$ 函数 $g (x) = x + \frac{1}{x} + a (x > 0) ，$ 若存在唯一的 $x_{0}$ ，使得 $h (x) = m i n {f (x) ， g (x)}$ 的最小值为 $h (x_{0})$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a < - 2$ B、 $a \leq - 2$ C、 $a < - 1$ D、 $a \leq - 1$

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二、填空题

13. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ ，则该双曲线的渐近线方程为．

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14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 4$ ， $a_{6} = 8$ ，则 $a_{4} =$ ．

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15. 曲线 $y = x^{3} - 3 x$ 的一条切线的方程 $y = a x + 16$ ，则实数 $a =$ ．

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16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3} a c o s C + c s i n A = 0$ ．若角C的平分线交AB于D点，且 $C D = 1$ ，则 $a + b$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $2 a_{n + 1} = a_{n}$ ．数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{2} = 2$ ， $b_{n} + b_{n + 2} = 2 b_{n + 1}$ ， $n \in Ν^{*}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 及 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 2021年国庆节过后我省多地突发新冠疫情，某行业主管部门为了了解本行业中的小企业在疫情后的恢复生产情况，随机调查了150个企业，得到这些企业第四季度相对于去年同期产值增长率的频数分布表如下：
增长率分组
$[- 0.4 ， - 0.2)$
$[- 0.2 ， 0)$
$[0 ， 0.2)$
$[0.2 ， 0.4)$
$[0.4 ， 0.6]$
企业数
15
30
50
38
17

(1)、根据上述增长率的频数分布表，估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；估计这150个企业同期产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)、某调研部门要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做调查研究，若被调查的企业同期增长率 $y \in [- 0.4 ， - 0.2)$ ，则调研价值为1；被调查的企业同期增长率 $y \in [- 0.2 ， 0)$ ，则调研价值为2；被调查的企业同期增长率 $y \in [0 ， 0.6]$ ，则调研价值为3．以表中对应各组的频率为概率，设选取的两个企业的调研价值之和为X，求X的分布列及数学期望．

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19. 如图，三角形ABC是边长为3的等边三角形，E，F分别在边AB，AC上，且 $A E = A F = 2$ ， M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将三角形AEF折到DEF的位置，使 $D M = \frac{\sqrt{15}}{2}$ ．

(1)、证明： $D O ⊥$ 平面EFCB；

(2)、若平面EFCB内的直线 $E N ∥$ 平面DOC，且与边BC交于点N，问在线段DM上是否存在点P，使二面角P—EN—B的大小为60°？若存在，则求出点P；若不存在，请说明理由．

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20. 已知动点P到点 $F_{1} (1 ， 0)$ 的距离与它到直线 $l ： x = 4$ 的距离之比为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求动点P的轨迹所形成曲线C的方程；

(2)、 $F_{2} (- 1 ， 0)$ ，分别过 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 作斜率为k $(k \neq 0)$ 的直线与曲线C交于x轴上方A，B两点，若四边形 $F_{1} F_{2} B A$ 的面积为 $\frac{12 \sqrt{2}}{7}$ ，求k的值．

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21. 已知函数 $f (x) = x + \frac{2 a}{x} - (a - 2) l n x (a \in R)$ ， $g (x) = (b - 1) x - \frac{2}{x} - x e^{x}$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时，关于x的不等式 $f (x) + g (x) \leq - 1$ 恒成立，求实数b的取值范围．

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22. 如图，曲线 $C_{1}$ 是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为 $ρ = 1 - s i n θ (θ \in [0 ， 2 π))$ ．曲线 $C_{2}$ 是经过极点且在极轴上方的圆，其圆心在经过极点且垂直于极轴的直线上，直径为1．

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程，并求曲线 $C_{1}$ 和曲线 $C_{2}$ 交点的极坐标；

(2)、以极点为坐标原点，极轴所在的直线为x轴，经过极点且垂直于极轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，曲线 $C_{3}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t c o s \frac{π}{3} ， \\ y = t s i n \frac{π}{3} ， \end{array}$ （t为参数）．若曲线 $C_{3}$ 与曲线 $C_{1}$ 相交于除极点外的M，N两点，求线段MN的长度．

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23. 已知函数 $f (x) = 2 | x - 1 | + | x + 1 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq 5$ 的解集；

(2)、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = f (1)$ ，求证： $\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 1} \leq 2 \sqrt{2}$ ．

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增长率分组	$[- 0.4 ， - 0.2)$	$[- 0.2 ， 0)$	$[0 ， 0.2)$	$[0.2 ， 0.4)$	$[0.4 ， 0.6]$
企业数	15	30	50	38	17