北京市2022届高三数学普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷

试卷更新日期：2022-03-28 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x \leq 1}$ ， $B = {x | x (x - 3) \leq 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 0}$ B、 ${x | 0 < x \leq 1}$ C、 ${x | - 1 < x \leq 3}$ D、 ${x | - 1 < x \leq 0}$

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2. 如果复数 $\frac{2 - b i}{1 + 2 i}$ （其中 $i$ 为虚数单位， $b$ 为实数）为纯虚数，那么 $b =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、-4

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3. 已知函数 $f (x)$ 的图象在区间 $[0 ， 2]$ 上连续不断，则“ $f (0) + f (1) + f (2) = 0$ ”是“ $f (x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上存在零点”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知正四棱锥的侧棱长为2，高为 $\sqrt{2}$ .则该正四棱锥的表面积为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $2 + 4 \sqrt{3}$ C、 $4 + 4 \sqrt{3}$ D、 $4 + 8 \sqrt{3}$

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5. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a ， b > 0)$ 满足 $\frac{b}{a} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，且与椭圆 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 有公共焦点，则双曲线 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{10} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，对任意的 $n \in$ $N^{*}$ ，均有 $S_{4} \geq S_{n}$ 成立，则 $\frac{a_{10}}{a_{6}}$ 的值不可能是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 已知函数 $f (x) = c o s^{2} x + s i n x$ ， $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ ，则（）

A、最大值为2，最小值为1 B、最大值为 $\frac{5}{4}$ ，最小值为1 C、最大值为 $\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，最小值为1 D、最大值为 $\frac{5}{4}$ ，最小值为 $- 1$

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8. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $A B ⊥ A C$ ， $P A = \sqrt{2}$ ， $A B = A C = 2$ ，则点A到平面PBC的距离为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 已知直线 $y = k x + 1$ 与圆 $x^{2} - 4 x + y^{2} = 0$ 相交于 $M ， N$ 两点，且 $| M N | ⩾ 2 \sqrt{3}$ ，那么实数k的取值范围是（）

A、 $- 4 ⩽ k ⩽ - \frac{1}{3}$ B、 $0 ⩽ k ⩽ \frac{4}{3}$ C、 $k ⩾ 0$ 或 $k ⩽ - \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3} ⩽ k ⩽ 0$

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10. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上有 $n$ 个不同的点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $\dots$ ， $P_{n}$ ．设椭圆的右焦点为 $F$ ，数列 ${| P_{n} F |}$ 是公差大于 $\frac{1}{1003}$ 的等差数列，则 $n$ 的最大值为（）

A、2007 B、2006 C、1004 D、1003

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二、填空题

11. 在二项式 $（ x^{2} - \frac{1}{x})^{5}$ 的展开式中，含 $x^{4}$ 的项的系数是．

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} c o s (x + θ) ， x \geq 0 ， \\ s i n x ， x < 0 \end{array}$ 是偶函数，则 $θ$ 的一个取值为.

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | 2^{x} - 1 | ， x < 1 \\ - {(x - 1)}^{2} ， x \geq 1 \end{array}$ .若函数 $g (x) = f (x) - k$ 有两个不同的零点，则实数 $k$ 的取值范围是.

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14. 设抛物线 $y^{2} = m x$ 的焦点为 $F (1 ， 0)$ ，则 $m =$ ；若点A在抛物线上，且 $| A F | = 3$ ，则点A坐标为.

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15. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为120°，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 4$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值为， $| \vec{a} - t \vec{b} | (t \in R)$ 的最小值为．

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中， $\sqrt{3} s i n A + c o s A = \sqrt{3} ， b = 2 \sqrt{3} .$ 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)、 $t a n 2 A$ 的值；

(2)、 $c$ 和面积 $S$ 的值．
条件①： $a = 2 ， b^{2} > a^{2} + c^{2}$ ；条件②： $\sqrt{3} a = 2 c ， c > 3$ .

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17. 如图，在四棱锥 $B - A C D E$ 中， $A B = A C = \sqrt{5}$ ， $A E ∥ C D$ ， $2 A E = C D = B C = 2$ ， $A E ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、试在线段 $B D$ 上取一点 $N$ 使 $E N ∥$ 平面 $A B C$ ，请给出点 $N$ 的位置，并证明；

(2)、若点 $F$ 满足 $\vec{D B} = 4 \vec{D F}$ ，求二面角 $F - E C - B$ 的平面角的余弦值.

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18. “双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2"模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时．某学校的课后服务有学业辅导体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本．发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：
每周参加活动天数
课后服务活动
1天
2~4天
5天
仅参加学业辅导
10人
11人
4人
仅参加体育锻炼
5人
12人
1人
仅参加实践能力创新培养
3人
12人
1人

(1)、从全校学生中随机抽取1人．估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；

(2)、从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数．求X的分布列和数学期望；

(3)、老样本中上个月未参加任何课后服务的学生有 $n (0 < n \leq 14)$ 人在本月选择仅参加学业辅导．样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数．试判断方差 $D (X)$ 、 $D (Y)$ 的大小关系（结论不要求证明）．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x + \frac{a - 2}{2 x} (a > 0)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若对任意 $x \in [1 ， + ∞)$ ，都有 $f (x) \geq l n x$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）上一点 $P$ 到两个焦点的距离之和为4，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的左右顶点分别为 $A$ 、 $B$ ，当 $P$ 不与 $A$ 、 $B$ 重合时，直线 $A P$ ， $B P$ 分别交直线 $x = 4$ 于点 $M$ 、 $N$ ，证明：以 $M N$ 为直径的圆过右焦点 $F$ .

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21. 对于有限数列 ${a_{n}}$ ， $n \leq N$ ， $N \geq 3$ ， $N \in N^{*}$ ，定义：对于任意的 $k \leq N$ ， $k \in N^{*}$ ，有：
（i ） $S^{*} (k) = | a_{1} | + | a_{2} | + | a_{3} | + ⋯ + | a_{k} |$ ；
（ii ）对于 $c \in R$ ，记 $L (k) = | a_{1} - c | + | a_{2} - c | + | a_{3} - c | + ⋯ + | a_{k} - c |$ .对于 $k \in N^{*}$ ，若存在非零常数 $c$ ，使得 $L (k) = S^{*} (k)$ ，则称常数 $c$ 为数列 ${a_{n}}$ 的 $k$ 阶 $ω$ 系数.

(1)、设数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = {(- 2)}^{n}$ ，计算 $S^{*} (4)$ ，并判断2是否为数列的4阶 $ω$ 系数；

(2)、设数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 3 n - 39$ ，且数列 ${a_{n}}$ 的 $m$ 阶 $ω$ 系数为3，求 $m$ 的值；

(3)、设数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，满足-1，2均为数列 ${a_{n}}$ 的 $m$ 阶 $ω$ 系数，且 $S^{*} (m) = 507$ ，求 $m$ 的最大值.

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每周参加活动天数课后服务活动	1天	2~4天	5天
仅参加学业辅导	10人	11人	4人
仅参加体育锻炼	5人	12人	1人
仅参加实践能力创新培养	3人	12人	1人