浙江省杭州市萧山区城北片2020-2021学年七年级下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2022-03-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列是二元一次方程的是（）

A、 $3 x - 6 = x$ B、 $2 x - 3 y = x^{2}$ C、 $2 x + \frac{3}{y} = 1$ D、 $3 x = 2 y$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{4} = a^{7}$ B、 ${(- 2 a^{2})}^{2} = - 2 a^{4}$ C、 $a^{5} \div a^{2} = a^{3}$ D、 $a^{2} • a^{3} = a^{6}$

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3. 如图为一只小兔，将图进行平移，得到的图形可能是下列选项中的（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若 $x^{m} = 5$ ， $x^{n} = \frac{1}{4}$ ，则 $x^{2 m - n} =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $40$ C、 $\frac{25}{4}$ D、 $100$

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5. 对于① $(x + 2) (x - 1) = x^{2} + x - 2$ ，② $x - 4 x y = x (1 - 4 y)$ ，从左到右的变形，表述正确的是（）

A、都是因式分解 B、都是乘法运算 C、①是因式分解，②是乘法运算 D、①是乘法运算，②是因式分解

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6. 下列说法错误的是（）

A、平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B、平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C、两点之间的所有连线中，线段最短 D、对顶角相等

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7. 如图，已知直线 $a // b$ .直角三角板 $A B C$ 的直角顶点C在直线b上，若 $∠ 1 = 50 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、 $40 °$ B、 $60 °$ C、 $55 °$ D、 $50 °$

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8. 下列各式中能用平方差公式的是（）

A、（a+b）（b+a） B、（a+b）（﹣b﹣a） C、（a+b）（b﹣a） D、（﹣a+b）（b﹣a）

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9. 我们知道下面的结论：若 $a^{m} = a^{n}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ），则 $m = n$ .利用这个结论解决下列问题：设 $2^{m} = 3$ ， $2^{n} = 6$ ， $2^{p} = 12$ ，下列关系式正确的是（）

A、 $n^{2} - m p = 1$ B、 $m + n = 2 p$ C、 $m + p = 2 n$ D、 $p + n = 2 m$

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10. 利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．量的数据如图，则桌子的高度等于（）

A、 $80 cm$ B、 $75 cm$ C、 $70 cm$ D、 $65 cm$

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二、填空题

11. 因式分解： $a b^{3} - 4 a b^{2} + 4 a b =$ ．

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12. 已知 ${\begin{matrix} x = 4 \\ y = m \end{matrix}$ 是二元一次方程7x+2y＝10的一组解，则m的值是.

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13. 若 $x^{2} - 2 (m + 1) x + 16$ 是完全平方式.则 $m$ 的值是.

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14. 已知：如图， $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 = 54 °$ ，则∠4的度数是.

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15. 一个长方形花园，长为a ，宽为b ，中间有两条互相垂直的宽为c的路，则可种花的面积为．

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16. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是.

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三、解答题

17.

(1)、解下列方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - 3 y = 3 \\ x + 2 y = - 2 \end{array}$ .

(2)、因式分解 $2 a^{3} - 8 a$ .

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18.

(1)、填空：
① ${(2 x)}^{3} \cdot (- 5 x y^{2})$ ＝；

② ${(- a^{3} b)}^{2} \div (- 2 a^{5} b^{2})$ ＝．

(2)、先化简，再求值： $2 x (x - 1) - (x + 1) (x - 1) - (3 x - 1) (2 x - 1)$ ，其中 $x = 2$ ．

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19. 如图， $A D // E F$ ， $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ．

(1)、求证： $D G // A B$ ；

(2)、若DG是 $∠ A D C$ 的角平分线， $∠ A D B = 120 °$ ，求 $∠ B$ 的度数．

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20. 某中学为了响应“足球进校园”的号召，在商场购买 $A$ 、 $B$ 两种品牌的足球，已知购买一个 $B$ 品牌足球比购买一个 $A$ 品牌足球多30元，购买2个 $A$ 品牌足球和3个 $B$ 品牌足球共需340元.

(1)、求购买一个 $A$ 品牌足球和一个 $B$ 品牌足球各需多少元？

(2)、该中学决定购买 $A$ 、 $B$ 两种品牌足球共50个，恰商场对两种品牌足球的售价进行调整， $A$ 品牌足球售价比原来提高 $8 %$ ， $B$ 品牌足球按原售价的九折出售，如果此次购买 $A$ 、 $B$ 两种品牌足球总费用为3060元，那么该中学购进 $B$ 品牌足球多少个？

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21. 下面是某同学对多项式 $(x^{2} - 4 x + 2) (x^{2} - 4 x + 6) + 4$ 因式分解的过程.
解：设 $x^{2} - 4 x = y$ ，

则原式 $= (y + 2) (y + 6) + 4$ （第一步）

$= y^{2} + 8 y + 16$ （第二步）

$= {(y + 4)}^{2}$ （第三步）

$= {(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}$ （第四步）

解答下列问题：

(1)、该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是（）

A、提取公因式 B、平方差公式 C、两数和的完全平方公式 D、两数差的完全平方公式

(2)、该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）.若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果.

(3)、请你模仿以上方法尝试对多项式 $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x + 2) + 1$ 进行因式分解.

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22. 请认真观察图形，解答下列问题：

(1)、根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；

(2)、由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；

(3)、如果图中的 $a$ ， $b (a > b)$ 满足 $a^{2} + b^{2} = 53$ ， $a b = 14$ ，求：① $a + b$ 的值；② $a^{4} - b^{4}$ 的值.

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23. 如图1是长方形纸带将长方形ABCD沿EF折叠成图2，使点C、D分别落在点 $C_{1}$ 、 $D_{1}$ 处，再沿BF折叠成图3，使点 $C_{1}$ 、 $D_{1}$ 分别落在点 $C_{2}$ 、 $D_{2}$ 处．

(1)、若 $∠ D E F = 20 °$ ，求图1中 $∠ C F E$ 的度数；

(2)、在（1）的条件下，求图2中 $∠ C_{1} F C$ 的度数；

(3)、在图3中写出 $∠ C_{2} F E$ 、 $∠ E G F$ 与 $∠ D E F$ 的数量关系，并说明理由．

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