山东省潍坊市寒亭区2020-2021学年七年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-03-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 用量角器测量∠AOB的度数，操作正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知方程 $3 x - y = 5$ ，用含 $x$ 的式子表示 $y$ 正确的是（）

A、 $x = 5 + y$ B、 $y = 5 - 3 x$ C、 $x = 5 - 4 y$ D、 $y = 3 x - 5$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 ${(- 2 a b^{2})}^{2} = 4 a^{2} b^{2}$ B、 $a^{3} + a^{3} = 2 a^{6}$ C、 $2 x^{3} + 3 x^{2} = 5 x^{5}$ D、 $m^{n} (2 m^{n} - 3 m^{n - 1}) = 2 m^{2 n} - 3 m^{2 n - 1}$

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4. 一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次转弯后，在与原来相同的方向上平行行驶，那么汽车两次转弯的角度可能是（）

A、第一次右转 $40 °$ ，第二次左转 $60 °$ B、第一次左转 $30 °$ ，第二次右转 $30 °$ C、第一次左转 $35 °$ ，第二次左转 $35 °$ D、第一次右转 $50 °$ ，第二次右转 $50 °$

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5. 若 $2^{a} = 3$ ， $4^{b} = 5$ ， $8^{c} = 15$ ，则（）

A、 $a + 2 b = 3 c$ B、 $a + b = c$ C、 $a + 2 b = c$ D、 $2 a + b = c$

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6. 如图，将三个正方形的一个顶点重合放置，如果其中 $∠ 1 = 15 °$ ， $∠ 2 = 55 °$ ，那么 $∠ 3$ 的度数为（）

A、 $10$ B、 $15$ C、 $20$ D、 $25$

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7. 如图， $l_{1} / / l_{2} / / l_{3}$ ， $∠ 1$ ， $∠ 2$ ， $∠ 3$ 如图所示，则下列各式中正确的是（）

A、 $∠ 3 = ∠ 1 + ∠ 2$ B、 $∠ 2 + ∠ 3 - ∠ 1 = 90 °$ C、 $∠ 1 - ∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ D、 $∠ 2 + ∠ 3 - ∠ 1 = 180 °$

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8. 《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是 ${\begin{matrix} 3 x + 2 y = 19 \\ x + 4 y = 23 \end{matrix}$ ．类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（）

A、 ${\begin{matrix} 2 x + y = 11 \\ 4 x + 3 y = 27 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} 2 x + y = 11 \\ 4 x + 3 y = 22 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} 3 x + 2 y = 19 \\ x + 4 y = 23 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} 2 x + y = 6 \\ 4 x + 3 y = 27 \end{matrix}$

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9. 通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，小明从图中得到 4个代数恒等式，其中正确的有（）

A、 $x (x + y) = 2 x + x y$ B、 $(x + y) (x + y) = x^{2} + y^{2}$ C、 $x (x + 2 y) = 2 x + 2 x y$ D、 $(x + 2 y) (x + y) = x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}$

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二、多选题

10. 已知射线 $O C$ 在 $∠ A O B$ 内部，下列条件中能确定 $O C$ 平分 $∠ A O B$ 的有（）

A、 $∠ A O C = ∠ B O C$ B、 $∠ A O B = 2 ∠ A O C$ C、 $∠ A O C + ∠ B O C = ∠ A O B$ D、 $∠ B O C = ∠ A O B$

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11. 如图所示，下列四组条件中，能得到 $A B$ // $C D$ 的是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 5$ B、 $∠ 2 = ∠ 6$ C、 $∠ A B C = ∠ A D C$ ， $∠ 4 = ∠ 8$ D、 $∠ B A D + ∠ A B C = 180 °$

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12. 已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} x + 3 y = 4 - a \\ x - 5 y = 3 a \end{array}$ ，给出下列结论，其中正确的有（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 5 ， \\ y = - 1 \end{array}$ 是方程组的解 B、 $x$ ， $y$ 的值都为非负整数的解有 $4$ 个 C、 $x$ ， $y$ 的值可能互为相反数 D、当 $a = 1$ 时，方程组的解也是方程 $x + y = 4 - a$ 的解

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三、填空题

13. 若 $∠ α = 59 ° 3 9^{'}$ ，则 $∠ α$ 的余角等于．

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14. 如图，用直尺和三角尺画图：已知点 $P$ 和直线 $a$ ，经过点 $P$ 画直线 $b$ ，使 $b$ $/ /$ $a$ ，其画法的依据是．

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15. ${(- 4)}^{2021} \times 0.2 5^{2020} =$ ．

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16. 如图，把一把直尺放在含 $30$ 度角的直角三角板上，量得 $∠ 1 = 54 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是．

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17. 若关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} a x + b y = m \\ c x + d y = n \end{array}$ 与 ${\begin{array}{l} (a + 1) x + (b + 2) y = m + 2 \\ (c + 3) x + (d + 4) y = n + 5 \end{array}$ 有相同的解，则这个解是．

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18. 观察等式： $2 + 2^{2} = 2^{3} - 2 ； 2 + 2^{2} + 2^{3} = 2^{4} - 2$ ； $2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} = 2^{5} - 2$ ；…；已知按一定规律排列的一组数： $2^{100}$ ， $2^{101}$ ， $2^{102}$ ， …， $2^{199}$ ， $2^{200}$ ．这组数据的和是．

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四、解答题

19. 计算与化简：

(1)、 $(- 2 a^{2} b^{3}) \cdot {(- a b^{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2} a^{2} b^{3})}^{2} \cdot 4 b$

(2)、 $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) - 2 (x^{3} - 3)$

(3)、 $(2 x - y) \cdot (x - 2 y) - 2 x (x - 3 y)$ ，其中 $x = 4$ ， $y = \frac{3}{2}$ ．

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20. 解方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} 3 x - y = 5 \\ 2 x + 5 y = 26 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} x - 1 = y + 5 \\ \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 1}{3} + 1 \end{array}$

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21. 如图，已知直线 $E F$ 分别交 $A B$ ， $C D$ 于点 $E$ ， $F$ ，且 $∠ A E F = 66 °$ ， $∠ B E F$ 的平分线与 $∠ D F E$ 的平分线相交于点 $P$ ．

(1)、求 $∠ P E F$ 的度数；

(2)、若直线 $A B$ // $C D$ ，请你判断线段 $P E$ 与 $P F$ 的位置关系，并说明理由．

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22. 甲、乙两位同学一起解方程组 ${\begin{array}{l} m x + n y = 2 \\ p x - 3 y = - 2 \end{array}$ ，甲符合题意地解得 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 2 \end{array}$ ，乙仅因抄错了题中的 $p$ ，而求得 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 6 \end{array}$ ，

(1)、求原方程组中 $m$ ， $n$ ， $p$ 的值．

(2)、写出求原方程组解的过程．

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23. 如图，点 $M$ 是 $∠ A O B$ 内部一点， $C M / / O B$ 交 $O A$ 于点 $E$ ．请你画出直线 $D M$ ，使 $D M / / O A$ ，交 $O B$ 于点 $F$ ．

(1)、补全图形；

(2)、请判断 $∠ A O B$ 与 $∠ D M E$ 的数量关系，并说明理由．

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24. 如图 $1$ ，已知 $∠ A O B = 120 °$ ， $∠ C O E$ 与 $∠ E O D$ 互余， $O E$ 平分 $∠ A O D$ ．

(1)、在图 $1$ 中，若 $∠ C O E = 40 °$ ，请求出 $∠ B O D$ 的度数；

(2)、在图 $1$ 中，设 $∠ C O E = α$ ， $∠ B O D = β$ ，请探究 $α$ 与 $β$ 之间的数量关系，并写出推理过程；

(3)、在已知条件不变的前提下，当 $∠ C O D$ 的边 $O D$ 在 $∠ A O B$ 外部时，如图 $2$ 的位置，仍然设 $∠ C O E = α$ ， $∠ B O D = β$ ，此时（2）中 $α$ 与 $β$ 之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时 $α$ 与 $β$ 之间的数量关系．

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25. 某公司决定从甲、乙、丙三个工厂共购买 $100$ 件同种产品 $A$ ，计划从丙厂购买的产品数量是从甲厂购买的产品数量的 $3$ 倍；从丙厂购买的产品数量与从甲厂购买的产品数量之和的 $\frac{3}{2}$ ，刚好等于从乙厂购买的产品数量；这三个工厂生产的产品 $A$ 的优品率分别为甲： $80 %$ ；乙： $85 %$ ；丙： $90 %$ ．

(1)、设从甲厂购买 $x$ 件产品 $A$ ，从乙厂购买 $y$ 件产品 $A$ ，请用列方程组的方法求出该公司从三个工厂各应购买多少件产品 $A$ ；

(2)、求该公司所购买的 $100$ 件产品 $A$ 的优品率；

(3)、若该公司在购买总数 $100$ 件不变的情况下，能否通过改变计划，调整从三个工厂购买产品 $A$ 的数量，使购买产品 $A$ 的优品率上升 $1 %$ ？若能，请求出所有可能的购买方案；若不能，请说明理由（各厂购买的优品件数是整数）．

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