山东省青岛市市北区2020-2021学年七年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-03-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 如图，小颖依据所在城市2020年8月16日连续12个小时的风力变化情况，画出了风力随时间变化的图象，根据图象进行判断，下列说法正确的是（）

A、8时风力最小 B、在8时至12时，最大风力为5级 C、在12时至14时，最大风力为7级 D、8时至14时，风力不断增大

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{4} + a^{5} = 2 a^{9}$ B、 $2 a^{4} \cdot 3 a^{5} = 6 a^{9}$ C、 $a^{3} \cdot a^{3} \cdot a^{3} = 3 a^{3}$ D、 ${(- a^{3})}^{4} = a^{7}$

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3. 已知方格纸中线段 $A B$ 、线段 $C D$ 和线段 $B E$ ，如图所示．下列四位同学的观察结论正确的有（）
甲同学： $A B / / C D$
乙同学： $∠ D$ 和 $∠ D A C$ 互余
丙同学：线段 $A B$ 的长为点 $A$ 到直线 $B E$ 的距离
丁同学：线段 $B E$ 的长为点 $E$ 到直线 $A B$ 的距离

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 下列各式中能用完全平方公式计算的是（）

A、 $(- x + 2) (x + 2)$ B、 $(- 3 - x) (x + 3)$ C、 $(2 x - y) (2 x + y)$ D、 $(- 2 x - y) (- 2 x + y)$

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5. 若 $(x + 3) (2 x - a)$ 展开后不含 $x$ 的一次项，则 $a$ 的值等于（）

A、6 B、 $- 6$ C、0 D、 $- 2$

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6. 将一副三角板如图放置，则下列结论中正确的是：（）
①如果 $∠ 2 = 30 °$ ，则有 $A C / / D E$ ；
② $∠ B A E + ∠ C A D = 180 °$ ；
③如果 $B C / / A D$ ，则有 $∠ 2 = 45 °$ ；
④如果 $∠ C A D = 150 °$ ，必有 $∠ 4 = ∠ C$ ；

A、①②③ B、③④ C、①②④ D、①②③④

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7. 甲、乙两辆汽车在同一条路上匀速行驶，图①和图②表示汽车速度与时间的关系，图③和图④表示汽车路程与时间的关系，小明对4个图中汽车运动的情况进行了描述，其中正确的是（）

A、图①，乙的速度是甲的3倍，相同时间甲乙的路程相等 B、图②，乙的速度是甲的2倍，相同时间乙的路程是甲的一半 C、图③，乙的速度是甲的2倍，相同时间乙的路程是甲的一半 D、图④，乙的速度是甲的2倍，相同时间乙的路程是甲的2倍

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8. 将两个边分别为 $a$ 和 $b$ 的正方形拼在一起， $B$ 、 $C$ 、 $G$ 三点在同一直线上，连接 $A E$ 、 $E G$ ，若两正方形的边长满足 $a + b = 15$ ， $a b = 35$ ，则阴影部分的面积为（）

A、95 B、85 C、90 D、100

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二、填空题

9. ${(\frac{1}{3})}^{- 2} + (- 3)^{0} =$ ．

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10. $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 互余， $∠ 1 = 56 °$ ， $∠ 2$ 是度， $∠ 2$ 的补角是度．

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11. 新冠病毒的直径大约为90纳米，纳米是一个长度单位，1纳米 $= \frac{1}{1000000000}$ 米，用科学记数法表示病毒的直径为米．

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12. 若 $4 x^{2} - k x y + 25 y^{2}$ 是完全平方式，则 $k =$ ．

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13. 某汽车生产厂家对其生产的一款汽车进行耗油量试验，在试验过程中，汽车一直匀速行驶，该汽车油箱中的余油量 $y$ （升）与汽车的行驶时间 $t$ （小时）之间的关系如表：
$t$ （小时）
0
1
2
3
$y$ （升）
120
112
104
96
则用关系式法表示因变量 $y$ （升）与自变量 $t$ （小时）之间的关系为．

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14. 若 $x^{a} = 2$ ， $x^{b} = 3$ ，则 $x^{3 a - 2 b} =$ ．

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15. 把一张长方形纸片 $A B C D$ 沿 $E F$ 翻折后，点 $D$ 、 $C$ 分别落在 $D^{'}$ 、 $C^{'}$ 的位置上， $E C^{'}$ 交 $A D$ 于点 $G$ ， $∠ C^{'} G A$ 比 $∠ C^{'} E F$ 多 $15 °$ ，则 $∠ C^{'} E F =$ 度， $∠ A F E =$ 度．

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16. 在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，出现了三角形形状的数列，又称为“杨辉三角形”．如图1，该三角形中的数据排列有着一定的规律，若将其中一组斜着的数列用字母 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 代替，如图2，计算 $a_{1} + a_{2}$ ， $a_{2} + a_{3}$ ， $a_{3} + a_{4}$ 的值，总结其规律，可得 $a_{99} + a_{100} =$ ．

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三、解答题

17. 如图所示，在一块长方形的木板上，已知线段 $A B$ 和 $A B$ 外一点 $C$ ，请用尺规作图的方法作一条经过点 $C$ 的线段 $C D$ ，使 $C D / / A B$ 且与木板边缘交于点 $D$ ．

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18.

(1)、 $2 x^{3} y \cdot {(- 2 x^{2} y)}^{2} \div (2 x y)$

(2)、 $4 {(\frac{1}{2} x + 1)}^{2} - (x + 3) (x - 3)$

(3)、 $(2021 + 1)^{2} - 2022 \times 2020$ （请利用公式进行简便运算）

(4)、 $(1 + 2 a - 3 b) (1 - 2 a - 3 b)$

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19. 已知 $： x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ．求：代数式 $(2 x - 1)^{2} - (x + 2) (x - 2) - x (x + 4)$ 的值．

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20. 填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ， $E$ 是 $A C$ 上一点，且 $∠ 1 + ∠ 2 = 90 °$ ．
求证： $∠ D E C + ∠ A C B = 180 °$ ．
证明：∵ $C D ⊥ A B$ （已知）
∴ $∠ 1 +$                   ▲                  =                  ▲                  （垂直定义）
∵ $∠ 1 + ∠ 2 = 90 °$ （已知），
∴                  ▲                   $= ∠ 2$ （                  ▲                  ）．
∴ $D E / / B C$ （                  ▲                  ）．
∴ $∠ D E C + ∠ A C B = 180 °$ （                  ▲                  ）．

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21. 小红的物理老师说：“离地面越高，气温越低，高地面的高度每上升1千米，气温会下降6℃”，小红测得此时地面的气温为20℃．

(1)、物理老师描述了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

(2)、根据物理老师的描述，请把温度的变化情况填入下表：
离地面高度（千米）
0
1
2
3
4
温度（摄氏度）

(3)、在方格纸中，把离地面0千米、1千米、2千米、3千米、4千米高度的温度表示出来．

(4)、请你预测离地面高度为5千米时，气温为多少摄氏度？

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22. 如图，已知直线 $a / / b$ ， $∠ 1 = 70 °$ ， $∠ 2 = 110 °$ ，判断直线 $m$ ，直线 $n$ 的位置关系并说明理由．

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23. 周末，小明骑自行车从家出发到野外郊游，从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程 $y$ （ $k m$ ）与小明离家时间 $x$ （ $h$ ）的函数图象，已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．

(1)、求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；

(2)、小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？

(3)、若追上小明后，再过5分钟妈妈到达乙地，求从家到乙地的路程．

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24. 小张和小李玩猜数游戏，小张说：“你随便选三个一位数按这样的步骤去运算，①把第一个数乘5；②再加上10；③把所得结果乘以2；④加上第二个数；⑤把所得结果乘以10；⑥加上第三个数；只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所想的三个一位数．”小李按照以上步骤试了几次，过程如下：

小李选定了1，2，3
小张选定了5，6，7
①
$1 \times 5 = 5$
$5 \times 5 = 25$
②
$5 + 10 = 15$
$25 + 10 = 35$
③
$15 \times 2 = 30$
$35 \times 2 = 70$
④
$30 + 2 = 32$
$70 + 7 = 77$
⑤
$32 \times 10 = 320$
$77 × 10 = 770$
⑥
$320 + 3 = 323$
$770 + 6 = 776$
小张介绍了他的计算奥秘：将最后的得数减去200，所得的结果百位数就是第一个数，十位数就是第二个数，个位数就是第三个数．
探究一：证明小张想法的符合题意性

小李选定了 $a$ ， $b$ ， $c$
①
$5 a$
②
$5 a + 10$
③
$(5 a + 10) × 2 = 10 a + 20$
④
$10 a + 20 + b$
⑤
$(10 a + 20 + b) \times 10 = 100 a + 10 b + 200$
⑥
$100 a + 10 b + c + 200$
小张将最后的得数减去200：
$100 a + 10 b + c + 200 - 200 = 100 a + 10 b + c$ ，
所以结果百位数就是第一个数，十位数就是第二个数，个位数就是第三个数．小李听完后深受启发也设计了自己的运算程序，让小张随便选三个一位数按这样的步骤去运算：
①把第一个数乘5，再加上5；
②把第二个数乘20，再加上2；
③将①的运算结果与②的运算结果相乘，再加上第三个数；
④减去第一个数与第二个数乘积的100倍．
小李说：“只要小张告诉我最后的得数，我就能知道小张一开始所想的三个一位数。”
小李是如何知道的呢？请你模仿探究一的证明过程填写下表：
探究二：证明小李想法的符合题意性

设小张选定的三个数为 $x$ ， $y$ ， $z$
①
②
③
④
请介绍小李的计算奥秘，描述：你是怎样由最后的得数，识别出最初选定的三个一位数的？

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	小李选定了1，2，3	小张选定了5，6，7
①	$1 \times 5 = 5$	$5 \times 5 = 25$
②	$5 + 10 = 15$	$25 + 10 = 35$
③	$15 \times 2 = 30$	$35 \times 2 = 70$
④	$30 + 2 = 32$	$70 + 7 = 77$
⑤	$32 \times 10 = 320$	$77 × 10 = 770$
⑥	$320 + 3 = 323$	$770 + 6 = 776$

	小李选定了 $a$ ， $b$ ， $c$
①	$5 a$
②	$5 a + 10$
③	$(5 a + 10) × 2 = 10 a + 20$
④	$10 a + 20 + b$
⑤	$(10 a + 20 + b) \times 10 = 100 a + 10 b + 200$
⑥	$100 a + 10 b + c + 200$

	设小张选定的三个数为 $x$ ， $y$ ， $z$
①
②
③
④

$t$ （小时）	0	1	2	3
$y$ （升）	120	112	104	96

离地面高度（千米）	0	1	2	3	4
温度（摄氏度）