西藏林芝市、日喀则市2021届高三下学期理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2022-03-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x| $\frac{x}{2 - x} \geq$ 0}，则A∩B＝（）

A、{x|2≤x≤4} B、{x|2＜x≤4} C、{x|1≤x≤2} D、{x|1≤x＜2}

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2. 已知i为虚数单位，a∈R，若(a-1)(a+1+i)=a²-1+（a-1）i是纯虚数，则a的值为（）

A、-1或1 B、1 C、3 D、-1

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3. 设 $a \in R$ ，则“ $a = \sqrt{2}$ ”是“直线 $l_{1} ： x + 2 a y - 5 = 0$ 与直线 $l_{2} ： a x + 4 y + 2 = 0$ 平行”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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4. $△ A B C$ 中，点 $M$ 为 $A C$ 上的点，且 $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{M C}$ ，若 $\vec{B M} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C}$ ，则 $λ - μ$ 的值是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. $5 G$ 是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的 $5 G$ 基站海拔6500米．从全国范围看，中国 $5 G$ 发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少 $\frac{1}{6}$ ，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（）

A、 $\frac{10 \times 6^{8}}{6^{8} - 5^{8}}$ B、 $\frac{10 \times 6^{7}}{6^{8} - 5^{8}}$ C、 $\frac{80 \times 6^{7}}{6^{8} - 5^{8}}$ D、 $\frac{10 \times 6^{6}}{6^{8} - 5^{6}}$

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6. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，则点 $(4 ， 0)$ 到 $C$ 的渐近线的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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7. 三棱锥 $S - A B C$ 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱 $S B$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{11}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{38}$ D、 $16 \sqrt{3}$

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8. 若 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b} > 0,$ 有下列四个不等式：① $a^{3} < b^{3}$ ；② $\log_{a + 2} 3 > \log_{b + 1} 3;$ ③ $\sqrt{b} - \sqrt{a} < \sqrt{b - a}$ ；④ $a^{3} + b^{3} > 2 a b^{2} .$ 则下列组合中全部正确的为（）

A、①② B、①③ C、①④ D、②③

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9. 将函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的单调递增区间是（）

A、 $[- \frac{π}{3} + k π ， \frac{π}{6} + k π] (k \in Z)$ B、 $[- \frac{π}{6} + k π ， \frac{π}{3} + k π] (k \in Z)$ C、 $[- \frac{π}{4} + k π ， \frac{π}{4} + k π] (k \in Z)$ D、 $[- \frac{5 π}{12} + k π ， \frac{π}{12} + k π] (k \in Z)$

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10. 在“3+1+2”模式的新高考方案中，“3”是指语文、数学、外语三科为必考科目，“1”指在物理和历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理中任选两科，某学生根据自身的特点，决定按以下方法选课：①外语可选英语或日语，②若选历史，则政治和地理至多选一科，③物理和日语最多只能选一个，则这个同学可能的选课方式共有（）

A、6种 B、11种 C、12种 D、16种

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11. 已知 $F$ 是抛物线 $y^{2} = x$ 的焦点，点 $A$ ， $B$ 在该抛物线上且位于 $x$ 轴的两侧， $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} = 2$ （其中 $O$ 为坐标原点），则 $Δ A B O$ 与 $Δ A F O$ 面积之和的最小值是（）

A、2 B、3 C、 $\frac{17 \sqrt{2}}{8}$ D、 $\sqrt{10}$

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12. 设 $x_{1} ， x_{2}$ 分别是函数 $f (x) = x - a^{- x}$ 和 $g (x) = x l o g_{a} x - 1$ 的零点(其中 $a > 1$ )，则 $x_{1} + 4 x_{2}$ 的取值范围为（）

A、 $(4 ， + \infty)$ B、 $[4 ， + ∞)$ C、 $(5 ， + \infty)$ D、 $[5 ， + ∞)$

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二、填空题

13. 二项式 ${(2 x + 1)}^{7}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数是．

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14. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3 ， 1)$ ，且 $P (X > 2 c - 1) = P (X < c + 3)$ ，则 $c =$ ．

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15. 设 $x > 0, y > 0, x + 2 y = 4$ ，则 $\frac{(x + 1) (2 y + 1)}{x y}$ 的最小值为.

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16. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是矩形，其中 $A D = 1 ， A B = 2$ ，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且直线 $P B$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球表面积为.

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ .已知 $\frac{\cos A - 2 \cos C}{\cos B} = \frac{2 c - a}{b}$

(1)、求 $\frac{\sin C}{\sin A}$ 的值

(2)、若 $\cos B = \frac{1}{4} ， b = 2$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 如图，在四面体 $A B C D$ 中， $A B = A D = \sqrt{2} ，$ $B C = C D = B D = 2$ ，二面角 $A - B D - C$ 是直二面角， $O$ 为 $B D$ 的中点，点 $P$ 为线段 $B C$ 上一点，且 $O P ⊥ B C$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $A O P$ ；

(2)、求平面 $A O P$ 与平面 $A C D$ 所成锐二面角的平面角的余弦值.

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19. 已知椭圆E的右焦点与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点重合，点M $(1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆E上.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设 $P (- 4 ， 0)$ ，直线 $y = k x + 1$ 与椭圆E交于A，B两点，若直线PA，PB均与圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相切，求 $k$ 的值.

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20. 武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.

(1)、为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：
现从年龄在 $[42 ， 52]$ 内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在 $[47 ， 52]$ 内的人数为 $ξ$ ，求 $P (ξ = 3)$ ；

(2)、为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘 $A$ 型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量 $X$ （单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表：
劳动节当日客流量 $X$
$1 < X < 3$
$3 \leq X \leq 5$
$X > 5$
频数（年）
2
4
4
以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立.
该游船中心希望投入的 $A$ 型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日 $A$ 型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量 $X$ （单位：万人）的影响，其关联关系如下表：
劳动节当日客流量 $X$
$1 < X < 3$
$3 \leq X \leq 5$
$X > 5$
$A$ 型游船最多使用量
1
2
3
若某艘 $A$ 型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘 $A$ 型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记 $Y$ （单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润， $Y$ 的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘 $A$ 型游船才能使其当日获得的总利润最大？

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{a} - l n (a x)$ ．

(1)、若 $a > 0$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $e^{x} l n x + m x^{2} + (1 - e^{x}) x + m \leq 0$ ，求正实数 $m$ 的取值范围．

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22. 已知在直角坐标系中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{cases} x = 1 + 2 c o s φ \\ y = 1 + 2 s i n φ \end{cases}$ （ $φ$ 为参数），现以原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ = \frac{4}{c o s θ - s i n θ}$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、在曲线 $C$ 上是否存在一点 $P$ ，使点 $P$ 到直线 $l$ 的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点 $P$ 的直角坐标；若不存在，请说明理由.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 2 | + | x - 4 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 3 x$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \geq k (x - 1)$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围.

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劳动节当日客流量 $X$	$1 < X < 3$	$3 \leq X \leq 5$	$X > 5$
频数（年）	2	4	4