西藏林芝市、日喀则市2021届高三下学期理数第二次联考试卷

试卷更新日期：2022-03-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} \leq 1}$ ， $B = {x | 3^{x} < 1}$ ，则 $A \cup (C_{R} B) =$ （）

A、 ${x | x < 0}$ B、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$ C、 ${x | - 1 \leq x < 0}$ D、 ${x | x \geq - 1}$

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2. 已知复数 $z_{1} = 2 + i$ ， $z_{2} = - 1 + 2 i$ ，则 $| \frac{z_{1}}{z_{2}} + z_{1} |$ 为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (3, - 2)$ ， $\vec{c} = (1, m)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $| \vec{c} | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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4. 有四个关于三角函数的命题：
$p_{1}$ ： $\exists$ x $\in$ R， $s i n^{2}$ $\frac{x}{2}$ + $c o s^{2}$ $\frac{x}{2}$ = $\frac{1}{2}$     $p_{2}$ ： $\exists$ x，y $\in$ R， $s i n (x - y) = s i n x - s i n y$
$p_{3}$ ： $s i n x = c o s y \Rightarrow x + y = \frac{π}{2}$ +2kπ (k $\in$ Z)    $p_{4}$ ： $\forall$ x $\in$ $[0 ， π]$ ， $\sqrt{\frac{1 - c o s 2 x}{2}} = s i n x$
其中真命题的是（   ）

A、 $p_{1}$ ， $p_{3}$ B、 $p_{1}$ ， $p_{4}$ C、 $p_{2}$ ， $p_{3}$ D、 $p_{2}$ ， $p_{4}$

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5. 我国古代数学著作 $($ 九章算术 $》$ 有如下问题：“今有金箠，长五尺，新本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箱，一头粗，一头细，在粗的一段截下一尺，重四斤：在细的一端截下一尺，重二斤，问依次每一尺各重几斤？“根据已知条件，若金蕃由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（）

A、6斤 B、9斤 C、10斤 D、12斤

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6. 医学家们为了揭示药物在人体内吸收､排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x(单位： $m g$ )与给药时间t(单位： $h$ )近似满足函数关系式 $x = \frac{k_{0}}{k} (1 - e^{- k t})$ ，其中 $k_{0}$ ， k分别称为给药速率和药物消除速率(单位： $m g / h$ ).经测试发现，当 $t = 23$ 时， $x = \frac{k_{0}}{2 k}$ ，则该药物的消除速率k的值约为( $l n 2 \approx 0.69$ )（）

A、 $\frac{3}{100}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{100}{3}$

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7. 在△ABC中，cosC= $\frac{2}{3}$ ，AC=4，BC=3，则cosB=（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．

A、 $6 + \sqrt{3}$ B、 $6 + 2 \sqrt{3}$ C、 $12 + \sqrt{3}$ D、 $12 + 2 \sqrt{3}$

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9. 若 ${(a x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 展开式的常数项为60，则 $a$ 值为（）

A、 $4$ B、 $\pm 4$ C、 $2$ D、 $\pm 2$

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10. 已知 $α \in (0 ， π)$ ，且 $3 cos 2 α - 8 cos α = 5$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{9}$

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11. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与双曲线 $C$ 的渐近线在第四象限交点为 $P$ ， $P F_{1}$ 交双曲线左支于 $Q$ ，若 $2 \vec{F_{1} Q} = \vec{Q P}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10} + 1}{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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12. 已知 $f (x)$ 为 $R$ 上的可导函数，且 $\forall x \in R$ ，均有 $f^{'} (x) < 2 f (x) ，$ ，则有（）

A、 $e^{4034} f (- 2017) ⟨ f (0) ， f (2017) ⟩ e^{4034} f (0)$ B、 $e^{4034} f (- 2017) < f (0) ， f (2017) < e^{4034} f (0)$ C、 $e^{4034} f (- 2017) > f (0) ， f (2017) > e^{4034} f (0)$ D、 $e^{4034} f (- 2017) > f (0) ， f (2017) < e^{4034} f (0)$

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二、填空题

13. 某“2020年宝鸡市防震减灾科普示范学校”组织4名男生6名女生志愿者到社区进行防震减灾图片宣讲，若这些选派学生只考虑性别，则派往甲社区宣讲的3人中至少有2个男生概率为.

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14. 已知 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} y \leq x \\ 2 x + 5 y - 10 \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最小值为．

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15. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a b - 1) x - b$ ，如果不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- 1, 3)$ ，那么不等式 $f (- 2 x) < 0$ 的解集为.

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16. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = B C = C D = D A = \sqrt{7}$ ， $B D = 2 \sqrt{3}$ ，二面角 $A - B D - C$ 是钝角.若三棱锥 $A - B C D$ 的体积为2．则三棱锥 $A - B C D$ 的外接球的表面积是.

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三、解答题

17. 已知数列{an}满足a₁＝1，Sn＝ $\frac{(n + 1) a_{n}}{2}$ .

(1)、求数列{an}的通项公式；

(2)、若bn＝(－1)n^＋¹ $\frac{2 a_{n} + 1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列{bn}的前n项和为Tn，求T_{2 021}.

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18. 如图1所示，梯形ABCD中，AD＝2AB＝2BC＝2CD＝4．E为AD的中点，连结BE，AC交于F，将△ABE沿BE折叠，使得平面ABE⊥平面BCDE（如图2）

(1)、求证：AF⊥CD；

(2)、求平面AFC与平面ADE所成的二面角的正弦值．

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19. 为了增强学生的身体素质，我校已经将冬天长跑作为一项制度固定下来，每天大课间例行跑操.为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的 $2 \times 2$ 列联表：

喜欢跑步
不喜欢跑步
合计
男生
80
女生
20
合计
已知在这200名学生中随机抽取 $1$ 人抽到喜欢跑步的概率为0.6.

(1)、判断是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？

(2)、从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用 $X$ 表示3人中女生的人数，求 $X$ 的分布列及数学期望
参考公式及数据： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.50
$0.40$
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
$k_{0}$
0.46
0.71
1.32
2.07
2.71
3.84
5.024
6.635
7.879
10.828

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a - 2) x - a l n x$ （ $a \in R$ ）

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a = 1$ 时，证明：对任意的 $x > 0$ ， $f (x) + e^{x} > x^{2} + x + 2$ .

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21. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴的两个端点分别为 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ .短轴的两个端点分别为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ .菱形 $A_{1} B_{1} A_{2} B_{2}$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、设 $M (- 1 ， 0) ， N (0 ， - \frac{1}{2})$ ，经过点M作斜率不为0的直线 $l$ 交椭圆C于A、B两点，若 $\vec{N A} \cdot \vec{A B} + \vec{N B} \cdot \vec{A B} = 0$ ，求直线 $l$ 的方程.

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22. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} c o s α \\ y = \frac{1}{2} s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以原点为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{4}{c o s^{2} θ + 4 s i n^{2} θ}$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程以及曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x$ 与曲线 $C_{1}$ 、曲线 $C_{2}$ 在第一象限交于 $P$ 、 $Q$ 两点，且 $| O Q | = 2 | O P |$ ，点 $M$ 的坐标为 $(2 ， 0)$ ，求 $Δ O M P$ 的面积．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a^{2} | + | x - 2 a + 1 |$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) \geq 4$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \geq 4$ ，求a的取值范围.

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.50	$0.40$	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
$k_{0}$	0.46	0.71	1.32	2.07	2.71	3.84	5.024	6.635	7.879	10.828

	喜欢跑步	不喜欢跑步	合计
男生	80
女生		20
合计