浙江省温州市苍南县金乡镇2021-2022学年高二下学期数学3月月考试卷

试卷更新日期：2022-03-25 类型：月考试卷

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一、选择题：每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.

1. 直线 $\sqrt{3} x - y + \sqrt{3} = 0$ 的倾斜角是（）

A、30° B、45° C、60° D、120°

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2. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，则其外接球的表面积是（）

A、4π B、6π C、 $4 \sqrt{3} π$ D、12π

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3. 已知函数 $f (x) = \ln x$ ，则函数 $f (x)$ 在点 $P (e ， f (e))$ 处的切线方程是（）

A、 $y = \frac{1}{e} x$ B、 $y = \frac{1}{e} x + 1$ C、 $y = x + 1$ D、 $y = x - e$

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4. 已知数列 ${\frac{2}{a_{n} + 1}}$ 是等差数列，且 $a_{1} = 1 ， a_{3} = - \frac{1}{3}$ ，那么 $a_{2020}$ =（）

A、 $\frac{1009}{1010}$ B、 $- \frac{1009}{1010}$ C、 $\frac{2019}{2020}$ D、 $- \frac{2019}{2020}$

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5. 已知实数 $1 ， m ， 9$ 成等比数列，则圆锥曲线 $\frac{x^{2}}{m} + y^{2} = 1$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 或 2 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $\sqrt{3}$

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6. 棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E是棱 $C C_{1}$ ^’的中点，点P，Q分别为面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 和线段 $B_{1} C$ 上的动点，则 $Δ$ PEQ周长的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{11}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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7. 若过点 $P (- 1 ， m)$ 可以作三条直线与曲线 $C ： y = x e^{x}$ 相切，则m的取值范围是（）

A、 $(- \frac{3}{e^{2}} ， + \infty)$ B、 $(- \frac{1}{e} ， 0)$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $(- \frac{3}{e^{2}} ， - \frac{1}{e})$

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8. 已知 $f (x) = x^{3} + a x + b ， a ， b \in R$ ， $x_{1} ， x_{2} \in (m ， n)$ 且满足 $f (x_{1}) = f (n) ， f (x_{2}) = f (m)$ ，对任意的 $x \in [m ， n]$ 恒有 $f (m) \leq f (x) \leq f (n)$ ，则当 $a ， b$ 取不同的值时（）

A、 $n + 2 x_{1}$ 与 $m - 2 x_{2}$ 均为定值 B、 $n - 2 x_{1}$ 与 $m + 2 x_{2}$ 均为定值 C、 $n - 2 x_{1}$ 与 $m - 2 x_{2}$ 均为定值 D、 $n + 2 x_{1}$ 与 $m + 2 x_{2}$ 均为定值

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二、选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = a_{2} = 1 ， a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (n > 2 ， n \in N^{*})$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为斐波那契数列，那么下列关于斐波那契数列 ${a_{n}}$ 说法正确的是（）

A、 $a_{5} = 5$ B、 $a_{6} = 6$ C、 $S_{5} = 12$ D、 $S_{6} = 19$

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10. 已知集合 $A = {- 1 ， 2 ， 3 ， 4} ， m ， n \in A$ ，则对于方程 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ 说法正确的是（）

A、可表示3个不同的圆 B、可表示6个不同的椭圆 C、可表示3个不同的双曲线 D、表示焦点位于 $x$ 轴上的椭圆有3个

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，下列命题是假命题的有（）

A、函数 $y = f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 单调递减 B、函数 $y = f (x)$ 有最大值e C、关于x的方程 $f (x) = a$ 有两个不同的实数根，则 $0 < a < \frac{1}{e}$ D、函数 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程是 $x - y - 1 = 0$

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 在线段 $B_{1} C$ 上运动，则下列说法正确的有（）

A、 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C D$ B、三棱锥 $M - A_{1} C_{1} D$ 的体积为定值
C、异面直线 $A M$ 与 $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ D、直线 $C_{1} M$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = 3 n^{2} - 2 n$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ．

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14. 点 $P$ 为圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 上的动点，则点 $P$ 到直线 $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$ 的距离的最小值为．

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15. 已知空间向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1 ， | \vec{c} | = 8 ， \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} ， \vec{a} \cdot \vec{c} = 4 ， \vec{b} \cdot \vec{c} = 5$ ，则对任意实数 $λ ， μ$ ， $| \vec{c} - (λ \vec{a} + μ \vec{b}) |$ 的最小值是．

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16. 已知函数 $f (x) = (x + 1) \ln x - a (x - 1)$ ，当 $x \in (1 ， + \infty)$ 时，不等式 $f (x) > 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题：共6小题，共70分.

17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 4.$

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 3]$ 上的最大值与最小值.

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18. 如图，四面体中，是的中点，和均为等边三角形，，．

(1)、求证：平面；

(2)、求直线 $A B$ 与平面所成角的正弦值．

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19. 某个体户计划经销甲、乙两种商品，据调查统计，当投资额为 $x$ 万元时，在经销甲、乙商品中所获得的收益分别为 $f (x)$ 万元与 $g (x)$ 万元，
$f (x) = a (x - 1) + 2 ， g (x) = 8 \ln (x + b)$ ，已知每种商品投资额为 $0$ 时，该商品的收益为 $0.$

(1)、求实数 $a ， b$ 的值；

(2)、如果该个体户准备投入 $10$ 万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1$ 点 $P (a_{n} ， a_{n + 1})$ 在直线 $x - y + 1 = 0$ 上，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $T_{n} = 2^{n + 1} - 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $Q_{n}$ .

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2} ，$ 且过点 $P (1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，设 $A ， B$ 是椭圆上的两个不同的动点，且直线 $P A ， P B$ 的倾斜角互补.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、求证：直线 $A B$ 的斜率是定值；

(3)、求 $Δ P A B$ 的面积 $S$ 的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = (x + a) \ln x - \frac{1}{2} x^{2} - a x + a - 1.$

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、若不等式 $f (x) > a \ln x - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，求整数 $a$ 的最大值.

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