四川省乐山市犍为县2021年中考适应性考试数学试卷

试卷更新日期：2022-03-24 类型：中考模拟

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一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）

1. -2的绝对值是（）

A、-2 B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $2 x + 3 y = 5 x y$ B、 ${(m + 3)}^{2} = m^{2} + 9$ C、 ${(x y^{2})}^{3} = x^{3} y^{6}$ D、 $a^{10} \div a^{5} = a^{2}$

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3. 在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与俯视图不相同的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图 $A B$ ∥ $C D$ ， $A D = C D$ ， $∠ 1 = 50^{°}$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $65^{°}$ B、 $60^{°}$ C、 $55^{°}$ D、 $70^{°}$

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5. 下列说法正确的是（）

A、了解“乐山市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是普查 B、甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，且 $S_{甲}^{2}$ ＞ $S_{乙}^{2}$ ，则甲的成绩比乙稳定 C、三张分别画有矩形，等边三角形，圆的卡片，从中随机抽取一张，恰好抽到中心对称图形卡片的概率是 $\frac{1}{3}$ D、“任意画一个三角形，其内角和是 $360^{°}$ ”这一事件是不可能事件

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6. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $A C = 8$ ， $B D = 6$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，连接 $O E$ ，则 $O E$ 的长是（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、3 D、4

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7. 如图，函数 $y_{1} = 2 x$ 与 $y_{2} = a x + 4 (a \neq 0)$ 的图象相交于点 $A (m ， 3)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $2 x < a x + 4$ 的解集是（）

A、 $x > \frac{3}{2}$ B、 $x < \frac{3}{2}$ C、 $x > 3$ D、 $x < 3$

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8. 《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为 $x$ 尺，根据题意，列方程为（）

A、 $8^{2} + x^{2} = {(x - 3)}^{2}$ B、 $8^{2} + {(x + 3)}^{2} = x^{2}$ C、 $8^{2} + {(x - 3)}^{2} = x^{2}$ D、 $x^{2} + {(x - 3)}^{2} = 8^{2}$

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9. 如图， $Δ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $B E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $A E = 2 \sqrt{5}$ ， $D$ 是线段 $B E$ 上的一个动点，则 $C D + \frac{\sqrt{5}}{5} B D$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $5 \sqrt{3}$ C、10 D、 $4 \sqrt{5}$

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10. 在平面直角坐标系内，已知点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (1 ， 1)$ ，若抛物线 $y = a x^{2} - x + 1 (a \neq 0)$ 与线段 $A B$ 有两个不同的交点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq - 2$ B、 $a < \frac{9}{8}$ C、 $1 \leq a < \frac{9}{8}$ 或 $a \leq - 2$ D、 $- 2 \leq a < \frac{9}{8}$

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二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分）

11. 计算： $\sqrt{4}$ = ．

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12. 数轴上 $A$ 、 $B$ 两点所表示的数分别是-4和2，点 $C$ 是线段 $A B$ 的中点，则点 $C$ 所表示的数是．

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13. 已知一组数据8，3，m，2的众数为3，则这组数据的平均数是.

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14. 如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是m（结果保留根号）

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15. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°}$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ，将 $R t Δ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $30^{°}$ 后得到 $Δ A D E$ ，则图中阴影部分的面积为.

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16. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，对于点 $A$ 和线段 $B C$ ，给出以下定义：如果 $Δ A B C$ 为等腰直角三角形，则称点 $A$ 为 $B C$ 的“等直点”；特别的，如果 $Δ A B C$ 是以 $B C$ 为斜边的等腰直角三角形，则称点 $A$ 为 $B C$ 的“完美等直点”.

(1)、如果 $B (- 2 ， 0)$ ， $C (2 ， 0)$ ，那么在 $D (4 ， 4)$ ， $E (- 2 ， - 4)$ ， $F (0 ， \sqrt{2})$ 中，线段 $B C$ 的“等直点”是；

(2)、已知 $B (0 ， - 6)$ ， $C (8 ， 0)$ .如果双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 上存在点 $A$ ，使得点 $A$ 为线段 $B C$ 的“完美等直点”，则 $k$ =.

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三、（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）

17. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - {(π - 2021)}^{0} + 4 \cos 60^{°}$ .

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18. 解不等式： $\frac{4 x - 1}{3} - x > 1$ ，并把它的解集在数轴上表示出来.

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19. 如图，在 $Δ A B C$ 中，点 $P$ 在 $A B$ 边上， $∠ A B C = ∠ A C P$ .若 $A P = 4$ ， $A B = 9$ ，求 $A C$ 的长.

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四、（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）

20. 先化简，再求值： $(\frac{2}{a - 1} - \frac{1}{a}) \div \frac{a^{2} + a}{a^{2} - 2 a + 1}$ ，其中 $a^{2} + a = 1$ .

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21. 某市为迎接全省的中学生足球运球比赛，准备在全市选取部分学生参加急训．该市一学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．（说明： $A$ 级：8分﹣10分， $B$ 级：7分﹣7.9分， $C$ 级：6分﹣6.9分， $D$ 级：1分﹣5.9分）
根据所给信息，解答以下问题：

(1)、本次抽样调查抽取了名学生的成绩；在扇形统计图中， $D$ 对应的扇形的圆心角是度；所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在等级；

(2)、若该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到 $A$ 级的学生有多少人？

(3)、已知调查的 $A$ 级学生中有3名男生和1名女生，老师随机从中选取2名学生参加全市的足球运球急训，请用画树状图法或列表法求所选2名学生恰好为一男生一女生的概率．

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22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = m x + n (m \neq 0)$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 在第一象限，纵坐标为 $4$ ，点 $B$ 在第三象限， $B M ⊥ x$ 轴，垂足为点 $M$ ， $B M = O M = 2$ .

(1)、分别求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、连接 $O B$ ， $M C$ ，求四边形 $M B O C$ 的面积.

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五、（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）

23. 某新建成学校举行美化绿化校园活动，九年级计划购买A，B两种花木共100棵绿化操场，其中A花木每棵50元，B花木每棵100元．

(1)、若购进A，B两种花木刚好用去8000元，则购买了A，B两种花木各多少棵？

(2)、如果购买B花木的数量不少于A花木的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最低，并求出该购买方案所需总费用．

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24. 已知， $A B$ 是⊙ $O$ 的直径，点 $C$ 是⊙ $O$ 上一点，连接 $A C$ 、 $B C$ ，直线 $M N$ 过点 $C$ ，满足 $∠ B C M = ∠ B A C$ ．

(1)、如图①，求证：直线 $M N$ 是⊙ $O$ 的切线；

(2)、如图②，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，过点 $D$ 作 $D H ⊥ M N$ 于点 $H$ ，直线 $D H$ 交⊙ $O$ 于点 $E$ 、 $F$ ，连接 $A F$ 并延长交直线 $M N$ 于点 $G$ ，连接 $C E$ ，若⊙ $O$ 的半径为1， $\cos ∠ B C M = \frac{3}{4}$ ， $C E = \frac{5}{3}$ ，求 $A G$ · $E D$ 的值．

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六、（本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分）

25. 如图1，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°}$ ， $A C = B C$ ．点 $D$ 、 $E$ 分别在 $A C$ 、 $B C$ 边上， $D C = E C$ ，连接 $D E$ 、 $A E$ 、 $B D$ ．点 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 分别是 $A E$ 、 $B D$ 、 $A B$ 的中点，连接 $P M$ 、 $P N$ 、 $M N$ ．

(1)、 $P M$ 与 $B E$ 的数量关系是， $B E$ 与 $M N$ 的数量关系是；

(2)、将 $Δ D E C$ 绕点 $C$ 逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中 $B E$ 与 $M N$ 的数量关系结论是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3)、若 $C B = 6$ ， $C E = 2$ ，在将图1中的 $Δ D E C$ 绕点 $C$ 逆时针旋转一周的过程中，当 $B$ 、 $E$ 、 $D$ 三点在一条直线上时，求 $M N$ 的长度．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点 $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $\tan ∠ O C B = 2$ ，动点 $D$ 在直线 $B C$ 下方的二次函数图象上.

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、如图1，连接 $D C$ 、 $D B$ ，设四边形 $O C D B$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最大值；

(3)、如图2，过点 $D$ 作 $D M ⊥ B C$ 于点 $M$ ，是否存在点 $D$ ，使得 $Δ C D M$ 中的某个角恰好等于 $∠ A B C$ 的2倍，若存在，直接写出点 $D$ 的横坐标；若不存在，请说明理由.

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四川省乐山市犍为县2021年中考适应性考试数学试卷

一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分． ）

二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分）

三、（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）

四、（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）

五、（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）

六、（本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）