山东省烟台市2022届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2022-03-23 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 > 0}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、{0} B、{0，1} C、{1，2} D、{0，1，2}

查看试题解析
2. 若复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 4 + 3 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 2 + i$ B、 $- 2 - i$ C、 $2 + i$ D、 $2 - i$

查看试题解析
3. 设x， $y \in R$ ，则“ $x < 1$ 且 $y < 1$ ”是“ $x + y < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 若非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ， $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

查看试题解析
5. 已知点F为抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，则该抛物线的准线方程为（）

A、 $x = - \frac{1}{2}$ B、 $x = - 1$ C、 $x = - 2$ D、 $x = - 4$

查看试题解析
6. 如图，三棱锥V－ABC中，VA⊥底面ABC， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = A V = 2$ ，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（）

A、 $(2 - \sqrt{3}) ： 1$ B、 $(2 \sqrt{3} - 3) ： 1$ C、 $(\sqrt{3} - 1) ： 3$ D、 $(\sqrt{3} - 1) ： 2$

查看试题解析
7. “碳中和”是指企业、团体或个人等测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心计划派5名专家分别到A，B，C三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为（）

A、90 B、150 C、180 D、300

查看试题解析
8. 过直线 $x - y - m = 0$ 上一点P作圆M： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 的两条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为 $\sqrt{7}$ 的点P有两个，则实数m的取值范围为（）

A、 $- 5 < m < 3$ B、 $- 3 < m < 5$ C、 $m < - 5$ 或 $m > 3$ D、 $m < - 3$ 或 $m > 5$

查看试题解析

二、多选题

9. 将函数 $y = s i n 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $f (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x) = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 C、当 $x = - \frac{π}{12}$ 时， $f (x)$ 取得最大值 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[π ， \frac{5 π}{4}]$ 上单调递增

查看试题解析
10. 甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（）

A、 $P (A) = \frac{3}{5}$ B、 $P (B | A) = \frac{2}{5}$ C、 $P (B) = \frac{13}{25}$ D、 $P (A | B) = \frac{9}{13}$

查看试题解析
11. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面ABC是边长为2的等边三角形， $A A_{1} = 3$ ， D为BC中点，则（）

A、直线 $A_{1} B / /$ 平面 $A D C_{1}$ B、点 $B_{1}$ 到平面 $A D C_{1}$ 的距离为 $\frac{3}{5} \sqrt{10}$ C、异面直线 $A_{1} B_{1}$ 与 $C_{1} D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、设P，Q分别在线段 $A_{1} B_{1}$ ， $D C_{1}$ 上，且 $\frac{A_{1} P}{A_{1} B_{1}} = \frac{D Q}{D C_{1}}$ ，则PQ的最小值为 $\sqrt{3}$

查看试题解析
12. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为C的左、右焦点，则（）

A、双曲线 $\frac{x^{2}}{4 + m} - \frac{y^{2}}{5 + m} = 1 (m > 0)$ 和C的离心率相等 B、若P为C上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的周长为 $6 + 2 \sqrt{14}$ C、若直线 $y = t x - 1$ 与C没有公共点，则 $t < - \frac{\sqrt{6}}{2}$ 或 $t > \frac{\sqrt{6}}{2}$ D、在C的左、右两支上分别存在点M，N使得 $4 \vec{F_{1} M} = \vec{F_{1} N}$

查看试题解析

三、填空题

13. 若 $s i n α = c o s (α + \frac{π}{6})$ ，则 $t a n 2 α$ 的值为．

查看试题解析
14. 若 ${(1 - 2 x)}^{n}$ 的展开式中 $x^{3}$ 项的系数为－160，则正整数n的值为．

查看试题解析
15. 已知 $f (x)$ 为R上的奇函数，且 $f (x) + f (2 - x) = 0$ ，当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) = 2^{x}$ ，则 $f (2 + l o g_{2} 5)$ 的值为．

查看试题解析
16. 在空间直角坐标系O－xyz中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面．比如方程 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 表示球面，就是一种常见的二次曲面．二次曲而在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛．已知点P(x，y，z)是二次曲面 $4 x^{2} - x y + y^{2} - z = 0$ 上的任意一点，且 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $z > 0$ ，则当 $\frac{z}{x y}$ 取得最小值时， $\frac{1}{x} (\frac{1}{y} - \frac{1}{z})$ 的最大值为．

查看试题解析

四、解答题

17. 2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京成功举办．这场冰雪盛会是运动健儿奋力拼搏的舞台，也是中外文明交流互鉴的舞台，折射出我国更加坚实的文化自信，诠释着新时代中国的从容姿态，传递出中华儿女与世界人民“一起向未来”的共同心声．某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到下图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的85%分位数；

(2)、采用样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在[200，280]的学生中抽取6人．若从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，设抽取的3人中观费时长在[200，240）的人数为X，求X的分布列和数学期望．

查看试题解析
18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{4} = 9$ ， $S_{3} = 15$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、保持数列 ${a_{n}}$ 中各项先后顺序不变，在 $a_{k}$ 与 $a_{k + 1} (k = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot)$ 之间插入 $2^{k}$ 个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列 ${b_{n}}$ ，记 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{100}$ 的值．

查看试题解析
19. 如图，四边形ABCD中， $A B^{2} + B C^{2} + A B \cdot B C = A C^{2}$ ．

(1)、若 $A B = 3 B C = 3$ ，求△ABC的面积；

(2)、若 $C D = \sqrt{3} B C$ ， $∠ C A D = 3 0^{∘}$ ， $∠ B C D = 12 0^{∘}$ ，求∠ACB的值．

查看试题解析
20. 如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD为矩形， $A B = 2 B C = 4$ ， E为CD的中点，且△VBC为等边三角形．

(1)、若VB⊥AE，求证：AE⊥VE；

(2)、若二面角A－BC－V的大小为 $3 0^{∘}$ ，求直线AV与平面VCD所成角的正弦值．

查看试题解析
21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，依次连接C四个顶点所得菱形的面积为4．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若A（－2，0），直线l： $y = k x + m$ 与C交于 $P ， Q$ 两点，且AP⊥AQ，试判断直线l是否过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，说明理由．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - x - l n x (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \geq 1$ ， $| f (x) | \geq 2$ ，求a的取值范围；

(3)、证明： $\sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{l n k} > 1 - \frac{1}{n}$ ．

查看试题解析