宁夏中卫市2022届高三理数第一次模拟试卷

试卷更新日期：2022-03-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ 2 x^{2} + 7 x - 4 < 0} ， B = {x ∣ {(\frac{1}{2})}^{- x} \geq \frac{1}{8}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ - 3 < x < \frac{1}{2}}$ B、 ${x ∣ - 3 \leq x < \frac{1}{2}}$ C、 ${x ∣ - 4 \leq x < - 3}$ D、 ${x ∣ - \frac{1}{2} \leq x < 3}$

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2. 复数 $z = \frac{1 - i}{i^{3}}$ 的共轭复数为（）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $i$ D、 $- i$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (x ， y - 1)$ 且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，若 $x$ ， $y$ 均为正数，则 $\frac{3}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值是（）

A、24 B、8 C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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4. 下列说法错误的是（）

A、命题“若 $x^{2} - 3 x + 2 = 0 ，$ 则 $x = 1$ ”的逆否命题是“若 $x \neq 1 ，$ 则 $x^{2} - 3 x + 2 \neq 0$ ” B、命题 $p ： \exists x \in R$ ，使得 $x^{2} + x + 1 < 0 ，$ 则 $\neg p ： \forall x \in R ，$ 均有 $x^{2} + x + 1 < 0$ C、“ $x > 1$ ”是“ $| x | > 1$ ”的充分不必要条件 D、若 $p \lor q$ 为假命题，则 $p ， q$ 均为假命题

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5. 袋中有红､黄､绿，蓝颜色的球各一个，每次随机取一个后放回袋中，连续取四次，则取出的球颜色完全不相同的概率为（）

A、 $\frac{1}{256}$ B、 $\frac{1}{64}$ C、 $\frac{3}{32}$ D、 $\frac{3}{16}$

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6. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， cos A = \frac{2}{3} ， b = 2 ， c = 3.$ 则 $B C$ 边上的高为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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7. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、癸酉：甲戌、乙亥、丙子、…、癸未；甲申、乙寅、丙戌、…、癸已；…；共得到60个组合，称为六十甲子，周而复始，无穷无尽.2020年是“干支纪年法”中的庚子年，那么2082年出生的孩子属相为（）

A、猴 B、马 C、羊 D、虎

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8. 关于函数 $f (x) = 2 s i n (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$ 的图象或性质的说法中，正确的个数为（）
①函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{8 π}{3}$ 对称；②将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位所得图象的函数为 $y = 2 s i n (\frac{1}{2} x + \frac{π}{3})$ ；③函数 $f (x)$ 在区间 $（ - \frac{π}{3} ， \frac{5 π}{3} ）$ 上单调递增；④若 $f (x) = a$ ，则 $c o s (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3}) = \frac{a}{3}$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 设函数f(x)= ${\begin{array}{l} l o g_{2} x ， x > 0 \\ l o g_{\frac{1}{2}} (- x) ， x < 0 \end{array}$ 若 $f (a) > f (- a)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 0) ∪ (0 ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 1) ∪ (1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 0) ∪ (1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1) ∪ (0 ， 1)$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 2 a x^{2} + 3 b x + c$ 的两个极值点分别在（-1，0）与（0，1）内，则2a-b的取值范围是（）

A、 $(- \frac{3}{2} ， 1)$ B、 $(- \frac{3}{2} ， \frac{3}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ D、 $(1 ， \frac{3}{2})$

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11. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点，双曲线上存在一点 $P$ 使得 $| P F_{1} | + | P F_{2} | =$ $2 b ， | P F_{1} | | P F_{2} | = \frac{8}{3} a b$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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12. 已知定义域为 $(0 ， + \infty)$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f^{'} (x) + \frac{f (x)}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ ，且 $f (e) = \frac{2}{e}$ ， e为自然对数的底数，若关于x的不等式 $\frac{f (x)}{x} - x - \frac{a}{x} + 2 \leq 0$ 恒成立，则实数a的取值范围为（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $[\frac{e + 2}{e} ， + \infty)$ D、 $[\frac{- e^{3} + 2 e + 2}{e} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知 $α$ 是第二象限角，且 $t a n α = - \frac{1}{3}$ ，则 $s i n 2 α =$ .

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14. $(x^{3} - 2) {(x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中， $x^{6}$ 的系数为.

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15. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，过点 $(2, 0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，则直线 $O A, O B$ ( $O$ 为坐标原点)的斜率之积为.

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16. 在四面体PABC中，平面 $P A B ⊥$ 平面ABC， $P A = P B = A B = 2$ ， $A C = B C = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则该四面体的外接球的体积为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = \frac{2}{3} (4^{n} - 1) (n \in N^{*})$ ，设 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ．

(1)、分别求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{4}{(b_{n} + 1) (b_{n} + 3)}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 2021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“3+1+2”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选两科．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人，统计选考科目人数如下表：

选考物理
选考历史
总计
男生
40
50
女生
总计
30
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
参考数据：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、补全2×2列联表，并根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考物理与性别有关”；

(2)、将此样本的频率视为总体的概率，随机调查该校3名学生，设这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望．

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19. 如图，在多面体 $A B C D F E$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形，四边形 $A B E F$ 是直角梯形，其中 $∠ A B E = 90 °$ ， $A F / / B E$ ，且 $D E = A F = 3 B E = 3$ .

(1)、证明：平面 $A B E F ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(2)、求二面角 $C - D E - F$ 的余弦值.

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20. 如图，椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $P (0 ， - 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是过点 $P$ 且互相垂直的两条直线，其中， $l_{1}$ 交圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 于 $A$ ， $B$ 两点， $l_{2}$ 交椭圆 $C_{1}$ 于另一点 $D$ .

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的方程；

(2)、求 $△ A B D$ 面积取最大值时直线 $l_{1}$ 的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} + a l n x (a \in R)$ ．
（Ⅰ）若函数 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

（Ⅱ）已知 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + (m - 1) x + \frac{1}{x}$ ， $m \leq - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ， $h (x) = f (x) + g (x)$ .当 $a = 1$ 时， $h (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求 $h (x_{1}) - h (x_{2})$ 的最小值．

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22. 已知圆 $C$ 的方程为 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$ ，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t \cos α \\ y = t \sin α \end{array}$ ，（ $t$ 为参数， $0 \leq α < π$ ）．以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求圆 $C$ 的极坐标方程；

(2)、设 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，当 $| O A | + | O B | = 2 \sqrt{7}$ 时，求 $l$ 的极坐标方程.

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23.

(1)、设 $a ， b ， c \in R ， a + b + c = 1$ ，证明 $： a b + b c + a c ⩽ \frac{1}{3}$ ；

(2)、求满足方程 $(x^{2} + 2) (y^{2} + 8) = 16 x y$ 的实数 $x ， y$ 的值.

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	选考物理	选考历史	总计
男生	40		50
女生
总计		30