辽宁省名校联盟2021-2022学年高三数学3月联合考试试卷

试卷更新日期：2022-03-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | - 4 < x < 3}$ ， $N = {- 4 ， - 2 ， 1 ， 2}$ ，则 $∁_{R} (M ∪ N) =$ （）

A、 ${- 2 ， 1 ， 2}$ B、 ${x | - 4 \leq x < 3}$ C、 ${x | x < - 4$ 或 $x \geq 3}$ D、 ${x | x < - 4$ 或 $x > 3}$

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2. 已知复数 $z = \frac{2 - i}{(- 1 + i)^{2}}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} - i$ B、 $\frac{1}{2} + i$ C、 $- \frac{1}{2} - i$ D、 $- \frac{1}{2} + i$

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3. 已知甲、乙、丙、丁4名志愿者参加2022年冬奥会的3个项目的培训，每名志愿者只能参加1个项目的培训，则甲、乙参加同1个项目培训的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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4. 已知 $a = l o g_{2.5} 7$ ， $b = l o g_{4} 15$ ， $c = {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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5. 设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{2} = - 7$ ， $S_{5} = 2 a_{1}$ ，当 $| S_{n} |$ 取得最小值时， $n =$ （）

A、10 B、9 C、8 D、7

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6. 已知圆台形的木桶的上、下底面的半径分别为4和2，木桶的高为 $2 \sqrt{3}$ ，则该木桶的侧面展开成的扇环所对的圆心角为（）

A、 $π$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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7. 已知直线 $x + y - 1 = 0$ 与圆 $M ： x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 y = 0$ 交于A，B两点，若 $∠ A M B = 4 ∠ M A B$ ，则 $a =$ （）

A、±2 B、±1 C、2或-1 D、1或-2

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{3^{x} + 1} - x^{3} + 2$ ，则不等式 $f (m^{2}) + f (m - 2) < 6$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 2) ∪ (1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 如图是国家统计局发布的2020年12月至2021年12月的全国居民消费价格涨跌幅，其中同比 $= \frac{本期数 - 去年同期数}{去年同期数} \times 100 %$ ，环比 $= \frac{本期数 - 上期数}{上期数} \times 100 %$ ．
则下列说法正确的是（）

A、2020年12月至2021年12月全国居民消费价格环比的极差为1.5% B、2020年12月至2021年12月全国居民消费价格同比的中位数为0.9% C、这13个月中，2021年6月全国居民消费价格最低 D、2021年比2020年全国居民消费平均价格增长大于1.0%

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10. 古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑中有一定影响．下图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若 $O$ 是正八边形 $A B C D E F G H$ 的中心，且 $| \vec{A B} | = 1$ ，则（）

A、 $\vec{A H}$ 与 $\vec{C F}$ 能构成一组基底 B、 $\vec{O D} \cdot \vec{O F} = 0$ C、 $\vec{O A} + \vec{O C} = \sqrt{3} \vec{O B}$ D、 $\vec{A C} \cdot \vec{C D} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

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11. 在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，将 $△ A B D$ 沿对角线BD折起，使点A至点 $P$ （ $P$ 在平面 $A B C D$ 外）的位置，则（）

A、在折叠过程中，总有BD⊥PC B、存在点P，使得 $P C = 2$ C、当 $P C = 1$ 时，三棱锥 $P - B C D$ 的外接球的表面积为 $\frac{3 π}{2}$ D、当三棱锥 $P - B C D$ 的体积最大时， $P C = \frac{3}{2}$

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12. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的准线l的方程为 $y = - 1$ ，过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，以A，B为切点分别作 $C$ 的两条切线，且两切线交于点M，则下列结论正确的是（）

A、C的方程为 $x^{2} = 2 y$ B、 $∠ A M B = 90 °$ C、M恒在 $l$ 上 D、 $| M F |^{2} = | A F | \cdot | B F |$

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三、填空题

13. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{m^{2} - 1} - y^{2} = 1 (m > 1)$ 的右焦点到直线 $x + y = 0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，则C的离心率为.

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14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式 $f (x) =$ .
① $f (x)$ 的最大值为2；② $\forall x \in R$ ， $f (2 - x) = f (x)$ ；③ $f (x)$ 是周期函数．

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15. 已知 $(x + \frac{m}{x}) {(x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中常数项为 $- 40$ ，则展开式中 $\frac{1}{x^{4}}$ 的系数为.

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16. 已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a + 2022 = b e^{c - b}$ （其中 $b > 0$ ），则 $(a + 2022) b c$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $s i n B = s i n \frac{A + C}{2}$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $s i n A = 2 s i n B - s i n C$ ， $△ A B C$ 面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 受新冠肺炎疫情的影响，各地推出务工人员就地过年的鼓励政策．某市随机抽选了100名男务工人员和100名女务工人员，调查他们是否有就地过年的意愿，结果如下：

有就地过年的意愿
无就地过年的意愿
男务工人员
80
20
女务工人员
60
40

(1)、能否有99.9%的把握认为务工人员就地过年的意愿与性别有关?

(2)、若用频率估计概率，从该市所有女务工人员中随机抽取3人进行深入调查， $X$ 表示抽取的女务工人员无就地过年的意愿的人数，求 $X$ 的分布列与数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α = P (χ^{2} \geq k)$
0.1
0.01
0.001
$k$
2.706
6.635
10.828

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19. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面为直角三角形， $A A_{1} = 2 A B = 2 B C = 2$ ， E，F分别为AB， $C C_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求二面角 $A - B_{1} C_{1} - B$ 的平面角的余弦值．

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20. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 3$ ， $S_{n + 1} + 1 = 4 a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、从下面两个条件中选择一个，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．
① $b_{n} = \frac{a_{n + 2}}{(S_{n + 1} + 1) a_{n + 1}}$ ；② $b_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot (2 n^{2} + 10 n + 13) \cdot 2^{4 n - 2}}{a_{n}^{2} \cdot a_{n + 1}^{2}}$ .

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21. 已知 $A$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的下顶点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右焦点， $| A F_{1} | + | A F_{2} | = \sqrt{3} | F_{1} F_{2} |$ ，且 $C$ 的短轴长为 $2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、设O为坐标原点，M， $N$ 为 $C$ 上 $x$ 轴同侧的两动点，两条不重合的直线 $M F_{1}$ ， $N F_{1}$ 关于直线 $x = - 1$ 对称，直线 $M N$ 与 $x$ 轴交于点 $P$ ，求 $△ O M P$ 的面积的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 a x + c o s x$ ， $g (x) = a x^{2} + e^{x}$ .

(1)、当 $0 < a < \frac{1}{2}$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上的极值之和；

(2)、若 $f (x) \leq g (x)$ 对任意实数x恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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	有就地过年的意愿	无就地过年的意愿
男务工人员	80	20
女务工人员	60	40

$α = P (χ^{2} \geq k)$	0.1	0.01	0.001
$k$	2.706	6.635	10.828