江西省南昌市2022届高三理数第一次模拟测试试卷

试卷更新日期：2022-03-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \frac{x - 2}{x} < 0}$ ， $B = {x | x^{2} + x - 2 > 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(- 2 ， 2)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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2. 已知 $i \cdot \bar{z} = z$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 在复平面内所对应的点一定在（）

A、实轴上 B、虚轴上 C、第一､三象限的角平分线上 D、第二､四象限的角平分线上

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3. 根据分类变量 $x$ 与 $y$ 的观察数据，计算得到 $K^{2} = 2.974$ ，依据下表给出的 $K^{2}$ 独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（）
$P (K^{2} \geq k)$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$k$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

A、有95%的把握认为变量 $x$ 与 $y$ 独立 B、有95%的把握认为变量 $x$ 与 $y$ 不独立 C、变量 $x$ 与 $y$ 独立，这个结论犯错误的概率不超过10% D、变量 $x$ 与 $y$ 不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%

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4. 圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为（）

A、 $\frac{20}{3} c m$ B、15cm C、 $10 \sqrt{3} c m$ D、20cm

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5. 已知 $A = {(x ， y) | {\begin{array}{l} x y = 1 \\ x > 0 ， y > 0 \end{array}}$ ， $B = {(x ， y) | x + y \geq 2}$ ，则“ $P \in A$ ”是“ $P \in B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{m + n} = a_{m} a_{n}$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、12 B、 $2^{7} - 1$ C、 $2^{7}$ D、 $2^{7} - 2$

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7. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 3 ， x \leq 0 ， \\ \sqrt{x} ， x > 0 ， \end{array}$ 若 $f (a - 3) = f (a + 2)$ ，则 $f (a) =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、0

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8. 纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展.许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
11	12	…	19	20	21	22	23	24	25	…
2048	4096	…	524288	1048576	2097152	4194304	8388608	16777216	33554432	…

如 $512 \times 1024$ ，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘.这两者的积，其实就是2的个数做一个加法.所以只需要计算 $9 + 10 = 19$ .那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了.若 $x = l o g_{4} (20211226 \times 1314520)$ ，则 $x$ 落在区间（）

A、

(15 ， 16)

B、

(22 ， 23)

C、

(42 ， 44)

D、

(44 ， 46)

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9. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = 3$ ， $c = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 s i n B$ ，则 $c o s A =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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10. 已知在边长为6的菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是线段 $A D$ ， $B C$ 上的点，且 $A E = B F = 2$ .将四边形 $A B F E$ 沿 $E F$ 翻折，当折起后得到的几何体 $A E D - B F C$ 的体积最大时，下列说法：① $A D ⊥ E F$ ；② $B C ∥$ 平面 $A D E$ ；③平面 $D E F C ⊥$ 平面 $A B F E$ ；④平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B F E$ ，其中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c (a ， b ， c \in R)$ ，若不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 ${x | x > m ，且 x \neq n}$ ，且 $n - m = 1$ ，则函数 $f (x)$ 的极大值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{4}{27}$ C、0 D、 $\frac{4}{9}$

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12. 已知 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ， $P$ 是圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 45$ 上的一个动点，则 $s i n ∠ A P B$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$

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二、填空题

13. 已知中心在原点的双曲线 $E$ 的离心率为2，右顶点为 $A$ ，过 $E$ 的左焦点 $F$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ，且 $l$ 与 $E$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $△ A M N$ 的面积为9，则 $E$ 的标准方程为.

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14. $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是互相垂直的单位向量， $\vec{a} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = 3 \vec{e_{1}} + 4 \vec{e_{2}}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影为.

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15. 从 ${(3 x + 1)}^{5}$ 的展开式各项的系数中任取两个，其和为奇数的概率是.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = - 1$ ， $a_{n + 2} = {\begin{array}{l} a_{n + 1} - a_{n} (a_{n + 1} \geq a_{n}) ， \\ a_{n} - a_{n + 1} (a_{n + 1} < a_{n}) ， \end{array}$ $b_{n} = 1 + {(- 1)}^{n}$ ， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{1000} =$ .

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三、解答题

17. 已知圆心在坐标原点的两个同心圆的半径分别为1和2，点 $A$ 和点 $B$ 分别从初始位置 $(1 ， 0)$ 和 $(2 ， 0)$ 处，按逆时针方向以相同速率同时作圆周运动.

(1)、当点 $A$ 运动的路程为 $\frac{2 π}{3}$ 时，求线段 $A B$ 的长度；

(2)、记 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，求 $x_{1} + y_{2}$ 的最大值.

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18. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 的底面为直角三角形， $E$ 为斜边 $A B$ 的中点，顶点 $P$ 在底面的投影为 $D$ ， $C D ∥ A B$ ， $E C ⊥ P B$ ， $P D = A B = 2 B C = 2$ .

(1)、求 $C D$ 的长；

(2)、求二面角 $D - P C - E$ 的余弦值.

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19. 为弘扬中国传统文化，某电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：①有易､中､难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次.四轮答题得分总和不低于10分进入决赛.选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表：

容易题
中等题
难题
答对概率
0.6
0.5
0.3
答对得分
3
4
5

(1)、若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由；

(2)、甲四轮答题中，选择了一个容易题､两个中等题､一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的数学期望.

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20. 已知函数 $f (x) = a x + c o s x (0 \leq x \leq π ， a \in R)$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为 $M$ ， $m$ ，求证： $2 M - m \geq \frac{3}{2}$ .

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21. 已知面积为 $12 \sqrt{3}$ 的等边 $△ A B O$ （ $O$ 是坐标原点）的三个顶点都在抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，过点 $P (- p ， 2)$ 作抛物线 $E$ 的两条切线分别交 $y$ 轴于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、求 $△ P M N$ 的外接圆的方程.

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22. 在直角坐标系中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} - \frac{1}{2} t ， \\ y = 3 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ c o s^{2} θ = s i n θ$ .

(1)、求直线 $l$ 的极坐标方程与曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 在直角坐标系第一象限交于点 $A$ ，点 $B$ 的极坐标为 $(4 ， \frac{π}{6})$ ，求 $△ A O B$ 的面积.

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23. 已知函数 $f (x) = | a x - 2 | + | 2 x + a | (a \geq 2)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) \leq 6$ 的解集；

(2)、 $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $f (x_{0}) \leq \frac{1}{2} a + 3$ ，求 $a$ 的取值范围.

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$P (K^{2} \geq k)$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

	容易题	中等题	难题
答对概率	0.6	0.5	0.3
答对得分	3	4	5