江苏省苏州市2022届高三下学期数学3月模拟试卷

试卷更新日期：2022-03-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知a∈R，复数 $z_{1} = 2 + a i$ ， $z_{2} = 1 - 2 i$ ，若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为纯虚数，则复数 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 的虚部为（）

A、1 B、i C、 $\frac{2}{5}$ D、0

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2. 已知集合 $A = {x | 0 < x < 3}$ ，集合 $B = {x | x < 1}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(- \infty ， 3)$ B、 $(- ∞ ， 1)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， 3)$

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3. 已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为（）

A、3π B、2π C、π D、 $\frac{π}{2}$

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4. 下列有关命题的说法不正确的是（）

A、命题“若 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ，则 $x = 1$ ”的逆否命题为：若 $x \neq 1$ ，则 $x^{2} - 3 x + 2 \neq 0$ B、 $x = 1$ 是 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的充分不必要条件 C、若 $p \land q$ 为假命题，则 $p$ ， $q$ 均为假命题 D、对于命题 $p$ ： $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} + x + 1 < 0$ ，则 $\neg p$ ： $\forall x \in R$ ，均有 $x^{2} + x + 1 \geq 0$

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 前15项和为45，若 $a_{3} = - 10$ ，则 $a_{13} =$ （）

A、16 B、55 C、-16 D、35

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6. 一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (2) = 0$ ，当 $x > 0$ 时，有 $x f^{'} (x) - f (x) > 0$ 成立，则不等式 $x f (x) > 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， - 2) ∪ (2 ， + \infty)$ B、 $(- 2 ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 2) ∪ (0 ， 2)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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8. 已知直线 $C_{1}$ ： ${\begin{array}{l} x = - 1 + t \\ y = - 1 + a t \end{array}$ (t为参数)与圆 $C_{2}$ ： $ρ = 2$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，当 $| A B |$ 最小时， $a$ 的取值为（）

A、4 B、2 C、1 D、-1

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二、多选题

9. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（）．

A、 ${\vec{a}}^{2} = | \vec{a} |^{2}$ B、 $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{{\vec{a}}^{2}} = \frac{\vec{b}}{\vec{a}}$ C、 ${(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} \cdot {\vec{b}}^{2}$ D、 ${(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$

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10. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{c}$ ， $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ ，下列命题为真命题的有（）

A、若 $| \vec{a} | > | \vec{b} |$ ，则 $s i n A > s i n B$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 C、若 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = 0$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形 D、若 $(\vec{b} + \vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} + \vec{a} - \vec{c}) = 0$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形

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11. 对于函数 $f (x) = \frac{2 l n x}{x^{2}}$ ，下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 在 $x = \sqrt{e}$ 处取得极大值 $\frac{1}{e}$ B、 $f (x)$ 只有一个零点 C、 $f (2) > f (\sqrt{π})$ D、若 $f (x) < k - \frac{1}{x^{2}}$ 在 $(0 + \infty)$ 上恒成立，则 $k > e$

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12. 为评估一种农作物的种植效果，选了 $n$ 块地作试验田．这 $n$ 块地的亩产量 $($ 单位： $k g)$ 分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{n}$ ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）

A、 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{n}$ 的平均数 B、 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{n}$ 的标准差 C、 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{n}$ 的方差 D、 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{n}$ 的中位数

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三、填空题

13. 设函数 $f_{1} (x) = x^{2}$ ， $f_{2} (x) = 2 (x - x^{2})$ ， $f_{3} (x) = \frac{1}{3} | s i n 2 π x |$ ，取 $t_{i} = \frac{i}{2019}$ ， $i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， 2019$ ， $S_{k} = | f_{k} (t_{1}) － f_{k} (t_{0}) | + | f_{k} (t_{2}) － f_{k} (t_{1}) | + ⋯ + | f_{k} (t_{2019}) - f_{k} (t_{2018}) |$ ， $k = 1 ， 2 ， 3$ ，则 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 的大小关系为.（用“<”连接）

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14. 方程 $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 10 = 0$ 的实根个数是．

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15. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的焦点坐标是；渐近线方程是.

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $B C = 2 A B = 4$ ， $E$ 为 $A D$ 中点，沿直线 $B E$ 将 $△ A B E$ 翻折成 $A^{'} B E$ ，使平面 $A^{'} B E ⊥$ 平面 $B C D E$ .点 $M ， N$ 分别在线段 $B C ， D E$ 上，若沿直线 $M N$ 将四边形 $M N D C$ 向上翻折，使 $C$ 与 $A^{'}$ 重合，则 $B M =$ ，四棱锥 $A^{'} - B M N E$ 的体积为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足 $a \sin^{2} \frac{B}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6} b \sin A$ .

(1)、求角B大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $b = 4$ ，求 $△ A B C$ 周长 $l$ 的取值范围.

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18. 知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 3$ ， $2 a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 2 a_{n} + 4$ .

(1)、求证： $a_{n + 1} > a_{n}$ ；

(2)、求证： $\frac{1}{3} \leq \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} \leq 1 - {(\frac{2}{3})}^{n} (n \in N^{*})$

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19. 某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、写出a的值；

(2)、试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；

(3)、从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望.

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20. 正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底边长为2， $E ， F$ 分别为 $B B_{1} ， A B$ 的中点.

(1)、已知 $M$ 为线段 $B_{1} A_{1}$ 上的点，且 $B_{1} A_{1} = 4 B_{1} M$ ，求证： $E M / /$ 面 $A_{1} F C$ ；

(2)、若二面角 $E - A_{1} C - F$ 的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，求 $A A_{1}$ 的值.

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为2，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2} .$ 设点 $M (m ， 0) (m \neq 0 ， m \neq \pm a)$ 是 $x$ 轴上的定点，直线l： $x = \frac{a^{2} + m^{2}}{2 m}$ ，设过点 $M$ 的直线与椭圆相交于A、B两点，A、B在 $l$ 上的射影分别为 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、判断 $| A A^{'} | \cdot | B B^{'} |$ 是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x + 1 ，$

(1)、求函数 $f (x)$ 单调区间；

(2)、若 $x > 1$ 时，函数 $f (x) > k x$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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