吉林省白山市2022届高三理数一模试卷

试卷更新日期：2022-03-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 \leq 0}$ ， $B = {x | \sqrt{x - 1} < 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < 3}$ B、 ${x | 1 \leq x \leq 3}$ C、 ${x | 1 \leq x < 3}$ D、 ${x | - 2 \leq x \leq 3}$

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2. 若复数 $z = (1 + 2 i) (2 - i)$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 函数 $f (x) = a (x + 1) e^{x} - x$ 的图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线斜率为1，则 $a =$ （）

A、1 B、-1 C、-2 D、2

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4. 已知实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq 1 \\ x - y \leq 0 \\ x \geq - 2 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A、3 B、-3 C、-6 D、6

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5. 某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，发现这100名同学的得分都在 $[50 ， 100]$ 内，按得分分成 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 这5组，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学得分的中位数为（）

A、72.5 B、73.75 C、74.5 D、75

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6. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} = 7$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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7. 如图，在正方体 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ 中， $P$ 为 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则过点 $A_{1}$ ， $B$ ， $P$ 的平面截正方体所得的截面的侧视图（阴影部分）为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 有这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为 $a$ ，厚度为 $x$ 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为 $\frac{1}{2} a$ ，厚度变为 $4 x$ .在理想情况下，对折次数 $n$ 满足关系： $n \leq l o g_{8} {(\frac{a}{x})}^{2}$ ，根据以上信息，一张长为40cm，厚度为0.1 $m m$ 的纸经过对折后的厚度的最大值约为（）（ $l g 2 \approx 0.3$ ）

A、1.28cm B、2.56cm C、12.8cm D、25.6cm

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9. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，以实轴为直径的圆与其中一条渐近线的一个交点为 $P$ ，若直线 $P F$ 与另一条渐近线平行，则 $C$ 的离心率为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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10. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图象如图所示，现将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 在区间 $[\frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$ 上的值域为（）

A、 $[- \sqrt{2} ， 2]$ B、 $[- 1 ， \sqrt{2}]$ C、 $[0 ， \sqrt{2}]$ D、 $[0 ， 2]$

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11. 十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．因以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．下面关于斐波那契数列 ${a_{n}}$ 的说法不正确的是（）

A、 $a_{2021}$ 是奇数 B、 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + ⋯ + a_{2020} = a_{2021}$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + ⋯ + a_{2021} = a_{2022}$ D、 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + ⋯ + a_{2021}^{2} = a_{2021} a_{2022}$

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12. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (e - x)$ ，当 $x \in (0 ， e)$ 时， $f (x) = | x - \frac{e}{2} |$ ，方程 $f (x) - \frac{1}{2 e} (x - e) = 0$ 在区间 $[- e ， 3 e]$ 内所有实根的和为（）

A、 $2 e$ B、 $3 e$ C、 $4 e$ D、 $5 e$

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二、填空题

13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{10} = 33 S_{5}$ ，则公比 $q =$ ．

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14. 十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六组．甲、乙、丙三位同学依次选一组作为礼物，甲同学喜欢龙和马，乙同学喜欢牛、羊和猴，丙同学喜欢兔、马、狗．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数为．

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15. 一个球被平面截下的一部分叫作球缺，截面叫作球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫作球缺的高，球缺的体积公式为 $V = \frac{π}{3} (3 R - h) h^{2}$ ，其中 $R$ 为球的半径， $h$ 为球缺的高，则棱长为2的正四面体的一个侧面截其外接球所得的球缺（不大于半球的部分）的体积为.

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16. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 的焦点为 $F (1 ， 0)$ ，过 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $C$ 在 $A$ 处的切线与 $C$ 的准线交于 $P$ 点，若 $| P F | = \sqrt{5}$ ，则 $| A B | =$ ； $△ P A B$ 面积的最小值为．

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三、解答题

17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} c - \sqrt{3} b c o s A = b s i n A$ .

(1)、求B；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ， $a = c + 1$ ，求c.

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18. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，沿 $B D$ 将 $△ A B D$ 折起到 $△ P B D$ 的位置（如图）， $G$ 为 $△ P B D$ 的重心，点 $E$ 在边 $C D$ 上，且 $D E = 2 E C$ ．

(1)、证明： $G E / /$ 平面 $P B C$ ．

(2)、若 $G E ⊥ P B$ ，求平面 $G E C$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值．

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19. 十三届全国人大四次会议表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28nm，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试产初期，生产一件该款芯片有三道工序，每道工序的生产互不影响，这三道工序的次品率分别为 $\frac{1}{18}$ ， $\frac{1}{19}$ ， $\frac{1}{20}$ ．
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.005
0.001
$k$
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、①求生产一件该芯片的次品率 $P$ ．
②试产100件该芯片，估计次品件数 $X$ 的期望．

(2)、某手机生产厂商将该款芯片投入到某新款手机上使用，并对部分芯片做了技术改良，推出了两种型号的手机，甲型号手机采用没有改良的芯片，乙型号手机采用改良了的芯片，现对使用这两种型号的手机用户进行回访，就他们对开机速度进行满意度调查．据统计，回访的100名用户中，使用甲型号手机的有30人，其中对开机速度满意的有15人；使用乙型号手机的有70人，其中对开机速度满意的有55人．完成下列 $2 \times 2$ 列联表，并判断是否有99.5%的把握认为该项技术改良与用户对开机速度的满意度有关．

甲型号
乙型号
合计
满意
不满意
合计

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20. 已知 $Q$ 是圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 16$ 上的任意一点，点 $F (- 1 ， 0)$ ，线段 $Q F$ 的垂直平分线交 $C Q$ 于点 $P$ .

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、折线 $y = k | x - 1 | (k > 0)$ 与 $E$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若以 $A B$ 为直径的圆经过原点，求 $k$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = x - l n x - \frac{e^{x}}{x}$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性．

(2)、证明： $f (x) - x < l n 2 - 2$ ．

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22. 在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中著名的有笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 $ρ = 1 - s i n θ$ $(0 \leq θ < 2 π ， ρ \geq 0)$ ， $M$ 为该曲线上一动点.

(1)、当 $| O M | = \frac{1}{2}$ 时，求 $M$ 的直角坐标；

(2)、若射线 $O M$ 逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ 后与该曲线交于点 $N$ ，求 $△ O M N$ 面积的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) + | x - 2 | \leq 2$ ；

(2)、若存在 $x \in R$ ，使得 $\frac{4}{f (x)} + f (x) \leq m^{2} - m + 2$ 成立，求 $m$ 的取值范围.

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$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.005	0.001
$k$	3.841	6.635	7.879	10.828

	甲型号	乙型号	合计
满意
不满意
合计