湖南省衡阳市2022届高三下学期数学一模试卷

试卷更新日期：2022-03-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 ${y | y = s i n x} =$ （）

A、R B、 ${x | - 1 \leq x \leq 1}$ C、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$ D、 ${x | x \geq 0}$

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2. 若曲线 $y = e^{x - 1} + l n x$ 在点 $(1 ， 1)$ 处的切线与直线 $a x + y = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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3. 已知 $s i n \frac{x}{4} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $c o s x =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{7}{9}$

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4. 2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，顺利将翟志刚、王亚平，叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功，火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级 $d (x)$ （单位： $d B$ ）与声强x（单位： $W / m^{2}$ ）满足 $d (x) = 10 l g \frac{x}{1 0^{- 12}}$ ．若人交谈时的声强级约为 $50 d B$ ，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为 $1 0^{9}$ ，则火箭发射时的声强级约为（）

A、 $130 d B$ B、 $140 d B$ C、 $150 d B$ D、 $160 d B$

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5. 已如函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2^{x}} + l g \frac{x + 3}{3 - x}$ ，则（）

A、 $f (1) + f (- 1) < 0$ B、 $f (- 2) + f (2) > 0$ C、 $f (1) - f (- 2) < 0$ D、 $f (- 1) + f (2) > 0$

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6. 2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊破了全球观众，衡阳市某中学力了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（）

A、192 B、240 C、120 D、288

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7. 设抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点P为C上的任意点，若点A使得 $| A P | + | P F |$ 的最小值为4，则下列选项中，符合题意的点A可为（）

A、 $(4 ， 2)$ B、 $(4 ， 4)$ C、 $(3 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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8. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P满足 $\vec{B_{1} P} = x \vec{B_{1} A} + y \vec{B_{1} C} + z \vec{B_{1} D_{1}}$ ，且 $x + y + z = 1$ ，若二面角 $B_{1} - P D_{1} - C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ， O为 $△ A C D_{1}$ 的中心，则 $s i n ∠ P D_{1} O =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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二、多选题

9. 复数 $z = x + y i ， x ， y \in R ， x y \neq 0$ ，则下列选项一定正确的是（）

A、 $z + \bar{z} \in R$ B、 $z - \bar{z} \in R$ C、 $z \bar{z} \in R$ D、 $\frac{z}{\bar{z}} \in R$

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10. 下列选项中，与“ $x^{2} > x$ ”互为充要条件的是（）

A、 $x > 1$ B、 $2^{x^{2}} > 2^{x}$ C、 $\frac{1}{x} < 1$ D、 $| x (x - 1) | = x (x - 1)$

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行线交C于点A，交另一条渐近线于点B．若 $\vec{F A} = 2 \vec{A B}$ ，则下列说法正确的是（）

A、双曲线C的渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ B、双曲线C的离心率为 $\sqrt{3}$ C、点A到两渐近线的距离的乘积为 $\frac{b^{2}}{3}$ D、O为坐标原点，则 $t a n ∠ A O B = \frac{\sqrt{2}}{4}$

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12. 数列 ${a_{n}}$ 满足， $a_{1} = a ， 2 a_{n + 1} - a_{n} a_{n + 1} = 1$ ，则（）

A、数列 ${a_{n}}$ 可能为常数列 B、当 $a = 0$ 时，数列 ${\frac{1}{a_{n} - 1}}$ 前10项之和为-55 C、当 $a = \frac{13}{11}$ 时， $a_{n}$ 的最小值为 $\frac{1}{3}$ D、若数列 ${a_{n}}$ 为递增数列，则 $a < 1$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (3 ， 4) ， \vec{b} = (2 ， x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{b} | =$ ．

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14. 已知 $x > 0 ， y > 0 ， x + \frac{4}{x} = 4 y - y^{2}$ ，则 $x + \frac{2}{y} =$ ．

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15. 已知点 $A (\sqrt{3} ， 1)$ ，点P在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上，则直线 $A P$ 倾斜角的最大值为．

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16. 已知函数 $f (x) = s i n x + \sqrt{3} | c o s x |$ ，写出函数 $f (x)$ 的一个单调递增区间；当 $x \in [0 ， a]$ 时，函数 $f (x)$ 的值域为 $[1 ， 2]$ ，则a的取值范围是．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $a = \sqrt{2} ， b = \sqrt{5} ， c = 1$ ．

(1)、求 $s i n A ， s i n B ， s i n C$ 中的最大值；

(2)、求 $A C$ 边上的中线长．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 3 ， S_{n} = 1 + a_{n + 1}$ ．

(1)、证明：数列 ${S_{n} - 1}$ 为等比数列；

(2)、记数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 1$ ．

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19. 如图，正四面体 $A B C D$ ， E为 $A B$ 的中点．

(1)、证明：平面 $E C D ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $\vec{C M} = \frac{2}{3} \vec{C A}$ ，求 $E M$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值．

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20. 甲、乙运动员进行乒乓球友谊赛，每场比赛采用5局3胜制(即有一运动员先胜3局即获胜，比赛结束)．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3：0或3：1取胜的运动员积3分，负者积0分，以3：2取胜的运动员积2分，负者积1分，已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ．

(1)、甲、乙两人比赛1场后，求甲的积分 $X$ 的概率分布列和数学期望；

(2)、甲、乙两人比赛2场后，求两人积分相等的概率．

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F，过F的直线与椭圆E交于点A，B，当直线 $A B$ 的方程为 $y = x - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，直线 $A B$ 过椭圆的一个顶点．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、已知点 $M (\sqrt{2} ， 0)$ ，若 $| M A | = 2 | M B |$ ，求直线 $A B$ 的斜率．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{x} - k x - 1$ ．

(1)、若 $k = 1$ ，求 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性；

(2)、试确定 $k$ 的所有可能取值，使得存在 $t > 0$ ，对 $\forall x \in (0 ， t)$ ，恒有 $| f (x) | < x^{2}$ ．

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