湖北省八市2022届高三下学期数学3月联考试卷

试卷更新日期：2022-03-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | | x | < 1}$ ，集合 $B = {x | y = \sqrt{x}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $[0 ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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2. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线方程为 $x + 2 y = 0$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（）

A、“至少有1个红球”与“都是黑球” B、“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球” C、“至少有1个黑球”与“至少有1个红球” D、“都是红球”与“都是黑球”

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4. 若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 将函数 $y = s i n (2 x - φ)$ 的图象沿x轴向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 $φ$ 的一个可能取值为（）

A、 $- \frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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6. 设 $α$ ， $β$ 为两个不同的平面，则 $α$ $∥$ $β$ 的一个充要条件可以是（）

A、 $α$ 内有无数条直线与 $β$ 平行 B、 $α$ ， $β$ 垂直于同一个平面 C、 $α$ ， $β$ 平行于同一条直线 D、 $α$ ， $β$ 垂直于同一条直线

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7. 已知 $(\frac{1}{x} + m y) {(2 x - y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{4}$ 的系数为80，则m的值为（）

A、-2 B、2 C、-1 D、1

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8. 各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的十进制.通常我们用函数 $f (x) = \frac{M}{x l o g_{x} M}$ 表示在x进制下表达M（M>1）个数字的效率，则下列选项中表达效率最高的是（）

A、二进制 B、三进制 C、八进制 D、十进制

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二、多选题

9. 立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，60）､[60，70）､[70，80）､[80，90）､[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（）

A、图中的x值为0.020 B、这组数据的极差为50 C、得分在80分及以上的人数为400 D、这组数据的平均数的估计值为77

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10. 2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性.对于方程 $x^{3} = 1$ ，它的两个虚数根分别为（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{3} i}{2}$ B、 $\frac{1 - \sqrt{3} i}{2}$ C、 $\frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2}$ D、 $\frac{- 1 - \sqrt{3} i}{2}$

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11. 我们把经过同一顶点的三条棱两两垂直的三棱锥，称作直角三棱锥.在直角三棱锥S−ABC中，侧棱SA､SB､SC两两垂直，设SA=a，SB=b，SC=c，点S在底面ABC的射影为点D，三条侧棱SA､SB､SC与底面所成的角分别为 $α$ ､ $β$ ､ $γ$ ，下列结论正确的有（）

A、D为△ABC的外心 B、△ABC为锐角三角形 C、若 $a > b > c$ ，则 $α < β < γ$ D、 $s i n^{2} α + s i n^{2} β + s i n^{2} γ = 1$

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12. 已知函数 $f (x) = \sqrt{| s i n \frac{x}{2} |} + \sqrt{| c o s \frac{x}{2} |}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{2}$ 对称 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ C、 $f (x)$ 的最小值为1 D、 $f (x)$ 的最大值为 $2^{\frac{3}{4}}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = 2 l n x + x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在x＝1处的切线方程为.

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14. 某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32 $m^{2}$ 的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5 $m$ ，各试验区之间也空0.5 $m$ .则每块试验区的面积的最大值为 $m^{2}$ .

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15. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点M是抛物线上异于顶点的一点， $\vec{O M} = 2 \vec{O N}$ （点O为坐标原点），过点N作直线OM的垂线与x轴交于点P，则 $2 | O P | - | M F | =$ .

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16. 2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程
若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 是等差数列， $a_{2} = 20$ ， $a_{5} = 80$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2}{a_{n} + 4}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} (a^{2} + c^{2} - b^{2}) = 2 b c s i n A$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、设M，N分别为BC，AC的中点，AM与BN交于点P，若 $a = 2 c$ ，求sin∠MPN的值.

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19. 在三棱台DEF−ABC中，CF⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=2EF，M是AC的中点，P是CF上一点，且CF= $λ$ DF= $λ^{2}$ CP（ $λ > 1$ ）.

(1)、求证：平面BCD⊥平面PBM；

(2)、当CP=1，且二面角E−BD−C的余弦值为 $\frac{1}{5}$ 时，求三棱台DEF−ABC的体积.

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20. 2022年2月 $6$ 日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战 $6 ： 5$ 惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇.

(1)、扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有 $\frac{1}{2}$ 的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数 $X$ 的分布列和期望；

(2)、好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙､丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的 $1$ 人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为 $p_{n}$ ，易知 $p_{1} = 1$ ， $p_{2} = 0$ .
①试证明 ${p_{n} - \frac{1}{4}}$ 为等比数列；
②设第 $n$ 次传球之前球在乙脚下的概率为 $q_{n}$ ，比较 $p_{10}$ 与 $q_{10}$ 的大小.

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21. 设椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左､右顶点分别为A，B，上顶点为D，点P是椭圆C上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，短轴长为2.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若直线AD与直线BP交于点M，直线DP与x轴交于点N，求证：直线MN恒过某定点，并求出该定点.

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22. 设函数 $f (x) = e^{x} - (a x - 1) l n (a x - 1) + (a + 1) x$ .（ $e$ 为自然常数）

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $F (x) = e^{x} - f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{e} ， 1]$ 上单调递增，求实数a的取值范围.

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