北师大版备考2022中考数学二轮复习专题4 二次根式

试卷更新日期：2022-03-23 类型：二轮复习

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一、单选题（共30分）

1. 已知 $y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} + 1$ ，则 $x + y$ 的平方根是（）

A、2 B、-2 C、±2 D、±1

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2. 已知a= $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ，b= $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，则a与b的关系是（）

A、相等 B、互为相反数 C、互为倒数 D、平方值相等

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3. 下列运算正确的有（）

A、5ab﹣ab=4 B、3 $\sqrt{2}$ ﹣ $\sqrt{2}$ =3 C、a⁶÷a³=a³ D、 $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ = $\frac{2}{a + b}$

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4. 若等腰三角形的两边长分别为 $\sqrt{50}$ 和 $\sqrt{72}$ ，则这个三角形的周长为（　　）

A、 $11 \sqrt{2}$ B、 $16 \sqrt{2}$ 或 $17 \sqrt{2}$ C、 $17 \sqrt{2}$ D、 $16 \sqrt{2}$

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5. 已知x为实数，化简 $\sqrt{- x^{3}} - x \sqrt{- \frac{1}{x}}$ 的结果为（　　）

A、 $(x - 1) \sqrt{- x}$ B、 $(- 1 - x) \sqrt{- x}$ C、 $(1 - x) \sqrt{- x}$ D、 $(1 + x) \sqrt{- x}$

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6. 下列计算正确的是（　　）

A、 $(3 - 2 \sqrt{2}) (3 - 2 \sqrt{2}) = 9 - 2 \times 3 = 3$ B、 $(2 \sqrt{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 2 x - y$ C、 ${(3 - \sqrt{3})}^{2} = 3^{2} - {(\sqrt{3})}^{2} = 6$ D、 $(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}) (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}) = 1$

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7. 若 $\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + y} = 0$ ，则 $x^{2005} + y^{2005}$ 的值为：（）

A、0 B、1 C、-1 D、2

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8. 等式 $\sqrt{\frac{x}{x - 3}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 3}}$ 成立的条件是（）

A、x≠3 B、x≥0 C、x≥0且x≠3 D、x>3

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9. 已知：m， n是两个连续自然数（m<n），且q=mn，设 $p = \sqrt{q + n} + \sqrt{q - m}$ ，则p( )。

A、总是奇数 B、总是偶数 C、有时奇数，有时偶数 D、有时有理数，有时无理数

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10. 对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n= $\{\begin{matrix} \sqrt{m} - \sqrt{n} (m \geq n) \\ \sqrt{m} + \sqrt{n} (m < n) \end{matrix}$ ，计算（3※2）×（8※12）的结果为（　　）

A、2﹣4 $\sqrt{6}$ B、2 C、2 $\sqrt{5}$ D、20

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二、填空题（共27分）

11. 记 $\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ 的整数部分是 $a$ ，小数部分是 $b$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值为.

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12. 若 $\sqrt{x + 3} - 2 {(x - 2)}^{- 2}$ 有意义，则x的取值范围是.

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13. 计算（ $\sqrt{2}$ +1）²⁰¹⁵（ $\sqrt{2}$ ﹣1）²⁰¹⁴=

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14. 已知x₁= $\sqrt{3}$ + $\sqrt{2}$ ，x₂= $\sqrt{3}$ ﹣ $\sqrt{2}$ ，则x₁²+x₂²= ．

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15. 若x、y都为实数，且 $y = 2008 \sqrt{x - 5} + 2007 \sqrt{5 - x} + 1$ ，则 $x^{2} + y$ =。

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16.
若成立，则x满足

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17. 如图，已知 $A (0 ， a)$ ， $B (b ， 0)$ ，第四象限的点 $C (c ， m)$ 到 $x$ 轴的距离为 $3$ ，若 $a$ ， $b$ 满足 $| a - b + 2 | + {(b + 2)}^{2} = \sqrt{c - 2} + \sqrt{2 - c}$ ，则 $C$ 点坐标为； $B C$ 与 $y$ 轴的交点坐标为.

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18. 观察下列等式：
① $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ；

② $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

③ $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{(\sqrt{7} + \sqrt{5}) (\sqrt{7} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$

…

参照上面等式计算方法计算：

$\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + \dots + \frac{1}{3 \sqrt{11} + \sqrt{101}} =$ .

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三、解答题（共63分）

19. 若x ， y为实数，且y＝ $\sqrt{1 - 4 x}$ ＋ $\sqrt{4 x - 1}$ ＋ $\frac{1}{2}$ ．求 $\sqrt{\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x}}$ － $\sqrt{\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x}}$ 的值．

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20. 已知 $△ A B C$ 的三边长为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，化简 $\sqrt{{(a + b + c)}^{2}} + \sqrt{{(a - b - c)}^{2}} - \sqrt{{(c - a - b)}^{2}}$ .

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21. 计算

(1)、 ${(2 - \sqrt{5})}^{2012} {(2 + \sqrt{5})}^{2013} - 2 | - \frac{\sqrt{5}}{2} | - {(- \sqrt{2})}^{0}$

(2)、已知 $2 a^{2} + 3 a - 6 = 0$ ．求代数式 $3 a (2 a + 1) - (2 a + 1) (2 a - 1)$ 的值.

(3)、先化简，再求值 $\frac{m^{2} - 2 m + 1}{m^{2} - 1} \div (m - 1 - \frac{m - 1}{m + 1})$ ，其中m= $\sqrt{3}$

(4)、解分式方程： $\frac{3}{2 x - 2} = \frac{1}{1 - x}$ +3．

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22. 阅读下面材料，回答问题：

(1)、在化简 $\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}$ 的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下： $\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}$ = $\sqrt{2 - 2 \sqrt{2 \times 3} + 3}$ = $\sqrt{{(\sqrt{2} - \sqrt{3})}^{2}}$ = $\sqrt{2} - \sqrt{3}$

小李的化简如下： $\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}$ = $\sqrt{2 - 2 \sqrt{3 \times 2} + 3}$ = $\sqrt{{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2}}$ = $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．

(2)、请你利用上面所学的方法化简：① $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ ；② $\sqrt{6 - 2 \sqrt{5}}$ ．

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23. 阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如如 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ ＝ $\frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}$ ＝ $\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1$ （1）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化.

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 还可以用以下方法化简：

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ ＝ $\frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$ （2）

(1)、请参照（1）（2）的方法用两种方法化简： $\frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$
方法一： $\frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ ＝

方法二： $\frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ ＝

(2)、直接写出化简结果： $\frac{2}{\sqrt{13} + \sqrt{11}}$ ＝ $\frac{2}{\sqrt{15} + \sqrt{13}}$ ＝

(3)、计算： $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ + $\frac{2}{\sqrt{8} + \sqrt{5}}$ + $\frac{2}{\sqrt{11} + \sqrt{8}}$ +…+ $\frac{2}{\sqrt{32} + \sqrt{29}}$ + $\frac{2}{\sqrt{35} + \sqrt{32}}$

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24. 如图，平面直角坐标系中，已知 $A (a ， b)$ ，且a、b满足 $b = \sqrt{a - 2} + \sqrt{2 - a} - 1$ .

(1)、求A点的坐标；

(2)、如图1，已知点F(1，0)，点A、D关于x轴对称，连接AD交x轴于E，OG⊥OD交AF的延长线于G，求AF：GF的值；

(3)、如图2若点F(1，0)、C(0，3)，连AC、FC，试确定∠ACO+∠FCO的值是否发生变化？若不变，说明理由；若变化，请求出变化范围.

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