浙教版备考2022年中考数学二轮复习训练题10：规律探索题

试卷更新日期：2022-03-23 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、单选题

1. 将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）

A、2025 B、2023 C、2021 D、2019

查看试题解析
2. “杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释 $(a + b)^{n}$ （ $n$ ＝ $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， 5，6）的展开式的系数规律．例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数 $1$ ， $2$ ， $1$ ，恰好对应着 $(a + b)^{2}$ 展开式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 中各项的系数；第4行的4个数 $1$ ， $3$ ， $3$ ， $1$ ，恰好对应着 $(a + b)^{3}$ 展开式 $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ 中各项的系数，等等．当n是大于6的自然数时，上述规律仍然成立，那么 $(a - \frac{1}{a})^{9}$ 展开式中 $a^{7}$ 的系数是（）

A、 $9$ B、 $- 9$ C、 $36$ D、 $- 36$

查看试题解析
3. 如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第 $n$ 行有 $n$ 个数，且两端的数均为 $\frac{1}{n}$ ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第9行第3个数(从左往右数)为（）

A、 $\frac{1}{60}$ B、 $\frac{1}{168}$ C、 $\frac{1}{252}$ D、 $\frac{1}{280}$

查看试题解析
4. 设 $a_{1} = 1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}$ ， $a_{2} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}$ ， $a_{3} = 1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}$ ，……， $a_{n} = 1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$ ，其中n为正整数，则 $\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}} + \sqrt{a_{3}} + \dots + \sqrt{a_{2020}}$ 的值是（　　）

A、 $2020 \frac{2019}{2020}$ B、 $2020 \frac{2020}{2021}$ C、 $2021 \frac{2020}{2021}$ D、 $2021 \frac{2021}{2022}$

查看试题解析
5. 如图，下列图形都是由黑色和白色的棋子按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有2颗黑色棋子，第②个图形中有8颗黑色棋子，第③个图形中有将17颗黑色棋子……按此规体，则第⑦个图中黑色棋子的颗数是（）

A、83 B、104 C、70 D、99

查看试题解析
6. 如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a₁ ，第2幅图中“▱”的个数为a₂ ，第3幅图中“▱”的个数为a₃ ， …，以此类推， $\frac{2}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + \frac{2}{a_{3}} + \frac{2}{a_{4}} + \dots \dots + \frac{2}{a_{2021}}$ 的值为（）

A、 $\frac{2021}{1011}$ B、 $\frac{1011}{2021}$ C、 $\frac{2020}{2021}$ D、 $\frac{2021}{2020}$

查看试题解析
7. 如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的B₁处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为h₁；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点D₁的直线折叠，使点B落在DE边上的B₂处，称为第二次操作，折痕D₁E₁到AC的距离记为h₂；按上述方法不断操作下去……经过第n次操作后得到折痕D_n_﹣₁E_n_﹣₁ ，到AC的距离记为h_n ．若h₁＝1，则h_n的值为（　　）

A、1+ $\frac{1}{2^{n - 1}}$ B、1+ $\frac{1}{2^{n}}$ C、2﹣ $\frac{1}{2^{n - 1}}$ D、2﹣ $\frac{1}{2^{n}}$

查看试题解析
8. 斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，它可以通过分别以1，1，2，3，5，…为半径，依次作圆心角为90°的扇形弧线画出来（如图）．第1步中扇形的半径是1cm，按如图所示的方法依次画，第8步所画扇形的弧长为（）

A、 $4 π$ B、 $\frac{21}{2} π$ C、 $17 π$ D、 $\frac{55}{2} π$

查看试题解析
9. 对于每个非零自然数n，抛物线 $y = x^{2} - \frac{2 n + 1}{n (n + 1)} x - \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n}$ 与x轴交于 $A_{n}$ ， $B_{n}$ 两点，以 $A_{n} B_{n}$ 表示这两点之间的距离，则 $A_{2} B_{2} + A_{3} B_{3} + A_{4} B_{4} \dots + A_{2021} B_{2021}$ 的值是（）

A、 $\frac{1010}{1011}$ B、 $\frac{1009}{1010}$ C、 $\frac{505}{1011}$ D、1

查看试题解析
10. 如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数 $y = x$ 的图象，点 $A_{1}$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ，过点 $A_{1}$ 作x轴的垂线交直线 $l$ 于点 $D_{1}$ ，以 $A_{1} D_{1}$ 为边作正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ；过点 $C_{1}$ 作直线l的垂线，垂足为 $A_{2}$ ，交x轴于点 $B_{2}$ ，以 $A_{2} B_{2}$ 为边作正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ ；过点 $C_{2}$ 作x轴的垂线，垂足为 $A_{3}$ ，交直线 $l$ 于点 $D_{3}$ ，以 $A_{3} D_{3}$ 为边作正方形 $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ ，…，按此规律操作下所得到的正方形 $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ 的面积是（）

A、 ${(\frac{9}{2})}^{n}$ B、 ${(\frac{9}{2})}^{n - 1}$ C、 ${(\frac{3}{2})}^{n}$ D、 ${(\frac{3}{2})}^{n - 1}$

查看试题解析

二、填空题

11. 观察下列各式：
$\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1 \times 2} = 1 + (1 - \frac{1}{2})$ ，

$\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2 \times 3} = 1 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})$ ，

$\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3 \times 4} = 1 + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})$ ，

……

请利用你发现的规律，计算：

$\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + \dots +$

$\sqrt{1 + \frac{1}{2020^{2}} + \frac{1}{2021^{2}}}$

其结果为

查看试题解析
12. 希望小组的同学在求式子 $\frac{1}{2} a + \frac{1}{2^{2}} a + \frac{1}{2^{3}} a + \frac{1}{2^{4}} a + ... + \frac{1}{2^{n}} a$ 的值（结果用 $n$ 和 $a$ 表示）时遇到了困难．经过合作探究他们想出了如图所示的图形来解释这个式子：设△ABC的面积为 $a$ ，取BC的中点，则有△ABD的面积为 $\frac{1}{2} a$ ，再取AD的中点E，则有△ACE的面积为 $\frac{1}{2^{2}} a$ ，再取CE的中点F，则有△DEF的面积为 $\frac{1}{2^{3}} a$ ，……照此思路持续取下去．就可利用这个图形求得 $\frac{1}{2} a + \frac{1}{2^{2}} a + \frac{1}{2^{3}} a + \frac{1}{2^{4}} a + ... + \frac{1}{2^{n}} a$ 的值＝．

查看试题解析
13. 如图，已知△P₁OA₁ ， △P₂A₁A₂ ， △P₃A₂A₃…△PnAn_﹣₁An都是等腰直角三角形，点P₁、P₂、P₃…Pn都在函数y＝ $\frac{4}{x}$ （x＞0）的图象上，斜边OA₁、A₁A₂、A₂A₃…An_﹣₁An都在x轴上．则点A₂₀₂₁的坐标为．

查看试题解析
14. 如图，在平面直角坐标系中， $A_{1 、} A_{2} ， A_{3} ， A_{4} \dots \dots$ 的横坐标分别为 $1 ， 2 ， 3 ， 4 \dots \dots$ 分别以 $O A_{1} ， O A_{2} ， O A_{3} ， O A_{4} \dots \dots$ 为边作等边三角形 $O A_{1} B_{1} ， O A_{2} B_{2} ， O A_{3} B_{3} ， O A_{4} B_{4} \dots \dots$ ，一只蚂蚁从原点出发以每秒一个单位长度的速度运动，运动路径 $O \to A_{1} \to B_{1} \to B_{2}$ $\to A_{2} \to A_{3} \to B_{3} \to B_{4} \dots \dots$ 则蚂蚁在40秒时的坐标为.

查看试题解析
15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA＝1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA₁ ，扫过的面积记为S₁ ， A₁A₂⊥OA₁交x轴于点A₂；将OA₂绕点O顺时针旋转45°到OA₃ ，扫过的面积记为S₂ ， A₃A₄⊥OA₃交y轴于点A₄；将OA₄绕点O顺时针旋转45°到OA₅ ，扫过的面积记为S₃；…；按此规律，则S₂₀₂₁为．

查看试题解析
16. 将2020个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A，A₁ ， A₂ ， A₃…A₂₀₂₀和点M，M₁ ， M₂…M₂₀₁₉是正方形的顶点，连接AM₁ ， AM₂ ， AM₃…AM₂₀₁₉分别交正方形的边A₁M，A₂M₁ ， A₃M₂…A₂₀₁₉M₂₀₁₈于点N₁ ， N₂ ， N₃…N₂₀₁₉ ，四边形M₁N₁A₁A₂的面积是S₁ ，四边形M₂N₂A₂A₃的面积是S₂ ， …，则S₂₀₁₉为 .

查看试题解析

三、综合题

17. 有如下按规律排列的数表，将这些数计算出来，并按原数表中的顺序排列得到一串数列：1， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{5}$ ，2 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{13}$ ， $\sqrt{10}$ ， $\sqrt{13}$ ，3 $\sqrt{2}$ ，5，……

(1)、第n行最后（最右边）一个数是（用含n的代数式表示）.

(2)、5是第几行中的第几个数？

(3)、这串数列中的第32个数是多少？

(4)、 $\sqrt{65}$ 是这串数列中的第个.

查看试题解析
18. 已知对任意正整数n，定义 $f (n) = \frac{1}{1 + 2 + 3 + ... + n}$

(1)、求 $f (1) + f (2) + f (3) ＋ \dots ＋ f (2018) + f (2019)$ 的值；

(2)、求证： $\frac{3}{2} < \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} ＋ \dots ＋ \frac{1}{2018^{2}} + \frac{1}{2019^{2}} < 2$

查看试题解析
19. 观察与思考：我们知道， $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ ，那么 $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3}$ 结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题：

推算：

(1)、 $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + 5^{3} =$ $^{2}$ ；

(2)、概括： $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} =$ ；

(3)、拓展应用：求 $\frac{1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + 100^{3}}{1 + 2 + 3 + \dots + 100}$ 的值．

查看试题解析
20. 小明同学在探究如何计算连续正整数之和后，得到公式S（n）＝1＋2＋3＋…＋n＝ $\frac{n (n + 1)}{2}$ ，于是他猜想连续正整数的平方和S（n²）是否也有类似的公式，为此，他将相关数值列成如下表格，请观察表格规律，并完成问题：
n
1
2
3
4
5
6
…
S（n）
1
3
6
10
15
a
…
S（n²）
1
5
14
b
55
91
…
$\frac{S （ n^{2} ）}{S (n)}$
1
$\frac{5}{3}$
$\frac{7}{3}$
c
$\frac{11}{3}$
d
…

(1)、根据规律，表格中a＝；c＝；

(2)、用含n的代数式表示 $\frac{S （ n^{2} ）}{S (n)} =$ ；

(3)、推导出计算公式S（n²）．

查看试题解析
21. 某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列.
【观察思考】

当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块(如图2)；当正方形地砖只有2块时，等腰直角三角形地砖有8块(如图2)；以此类推.

【规律总结】

(1)、若人行道上每增加一块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块；

(2)、若一条这样的人行道一共有n(n为正整数)块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为(用含n的代数式表示).

(3)、【问题解决】
现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？

查看试题解析
22. 如图所示，1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，其中标注1、2的正方形边长分别为x、y，请你计算：

(1)、第3个正方形的边长＝；第5个正方形的边长＝；第10个正方形的边长＝．（用含x、y的代数式表示）

(2)、当x＝2时，第9个正方形的面积＝．

(3)、当x、y均为正整数时，求这个完美长方形的最小周长．

查看试题解析
23. 如图，在直角坐标系中，已知点M₀的坐标为（1，0），将线段O M₀绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₁ ，使得M₁ M₀⊥O M₀ ，得到线段OM₁；又将线段OM₁绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₂ ，使得M₂M₁⊥OM₁ ，得到线段OM₂ ，如此下去，得到线段OM₃ ， OM₄ ， …，OM_n

(1)、写出点M₅的坐标；

(2)、求△M₅OM₆的周长；

(3)、我们规定：把点M_n（x_n ， y_n）（n=0，1，2，3…）的横坐标x_n ，纵坐标y_n都取绝对值后得到的新坐标（|x_n|，|y_n|）称之为点M_n的“绝对坐标”．根据图中点M_n的分布规律，请你猜想点M_n的“绝对坐标”，并写出来．

查看试题解析
24. 已知抛物线 $y_{n} = - {(x - a_{n})}^{2} + b_{n}$ （ $n$ 为正整数，且 $0 < a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ ）与 $x$ 轴的交点为 $A (0 ， 0)$ 和 $A_{n} (c_{n} ， 0)$ ， $c_{n} = c_{n - 1} + 2$ ，当 $n = 1$ 时，第 $1$ 条抛物线 $y_{1} = - {(x - a_{1})}^{2} + b_{1}$ 与 $x$ 轴的交点为 $A (0 ， 0)$ 和 $A_{1} (2 ， 0)$ ，其他依此类推．

(1)、求 $a_{1}$ ， $b_{1}$ 的值及抛物线 $y_{2}$ 的解析式．

(2)、抛物线 $y_{4}$ 的顶点 $B_{4}$ 的坐标为（，）；依此类推，第 $(n + 1)$ 条抛物线 $y_{n + 1}$ 的顶点 $B_{n + 1}$ 的坐标为（，）；所有抛物线的顶点坐标 $(x ， y)$ 满足的函数关系式是．

(3)、探究以下结论：
①是否存在抛物线 $y_{n}$ ，使得 $Δ A A_{n} B_{n}$ 为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线 $y_{n}$ 的解析式；若不存在，请说明理由．

②若直线 $x = m$ $(m > 0)$ 与抛物线 $y_{n}$ 分别交于点 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $\dots$ ， $C_{n}$ ，则线段 $C_{1} C_{2}$ ， $C_{2} C_{3}$ ， $\dots$ ， $C_{n - 1} C_{n}$ 的长有何规律？请用含有 $m$ 的代数式表示．

查看试题解析

n	1	2	3	4	5	6	…
S（n）	1	3	6	10	15	a	…
S（n²）	1	5	14	b	55	91	…
$\frac{S （ n^{2} ）}{S (n)}$	1	$\frac{5}{3}$	$\frac{7}{3}$	c	$\frac{11}{3}$	d	…