黑龙江省齐齐哈尔市2022届高三理数第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2022-03-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设i为虚数单位，若复数 $z = 1 - {(\frac{1 - i}{1 + i})}^{2} i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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2. 设集合 $M = {x | x^{2} \leq 4} ， N = {x | 2^{3 - 2 x} \geq \sqrt{2}}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 $[- 1 ， \frac{5}{4}]$ C、 $(- \infty ， \frac{5}{4}]$ D、 $[- 2 ， \frac{5}{4}]$

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3. 设单位向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$ ，则向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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4. 若 $m ， n$ 是两条不同的直线， $α ， β ， γ$ 是三个不同的平面，则下列为真命题的是（）

A、若 $m \subset β ， α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ α$ B、若 $m / / α ， n / / α$ ，则 $m / / n$ C、若 $m ⊥ β ， m / / α$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α ⊥ γ ， α ⊥ β$ ，则 $β ⊥ γ$

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5. 设 $a = l o g_{5} 4 ， b = l o g_{\frac{1}{5}} 3 ， c = 2^{\frac{1}{5}}$ ，则a，b，c的大小关系正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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6. 已知 $\sqrt{3} t a n 10 ° + λ c o s 80 ° = 1$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a，b，c成等差数列，且 $3 s i n A = 4 s i n B$ ，则 $c o s A$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 中华文化综罗百代，广博精微，国学经典中蕴藏着中华五千年历史的智慧精髓.某校学生会举办“传承中华文化，诵读国学经典”活动，供选择的诵读经典著作为：《春秋》、《史记》、《左传》、《孙子兵法》.经过层层遴选，有三位选手进入决赛，这三位选手可以从如上著作中，任选一篇文章诵读.那么这三位选手中，恰有两人诵读的篇目取自于同一部著作的概率为（）

A、 $\frac{1}{64}$ B、 $\frac{29}{32}$ C、 $\frac{9}{16}$ D、 $\frac{7}{16}$

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9. 如图是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（）

A、 $(2 + \sqrt{2}) π r^{2}$ B、 $(3 + \sqrt{2}) π r^{2}$ C、 $3 π r^{2}$ D、 $4 π r^{2}$

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10. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，直线l过 $F_{2}$ 且与双曲线交于A，B两点，若直线l不与x轴垂直，且 $(\vec{F_{1} A} + \vec{F_{1} B}) \cdot \vec{A B} = 0$ ，则直线l的斜率为（）

A、 $\pm \sqrt{3}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{15}}{5}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{5}$ D、 $\pm \frac{1}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = t e^{x} - l n x + l n t$ 对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ 都有 $f (x) \geq 0$ ，则正数t的最小值为（）

A、 $e^{2}$ B、 $\frac{1}{e^{2}}$ C、e D、 $\frac{1}{e}$

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二、解答题

12. 命题： $\exists x > 0 ， s i n (x - 1) \geq 1$ 的否定为（）

A、 $\exists x > 0 ， s i n (x - 1) < 1$ B、 $\exists x \leq 0 ， s i n (x - 1) \geq 1$ C、 $\forall x > 0 ， s i n (x - 1) < 1$ D、 $\forall x \leq 0 ， s i n (x - 1) < 1$

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13. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、记 $b_{n} = \sqrt{4 l o g_{2} a_{n} - 3}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} + b_{n + 1}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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14. 棉花是我国主要经济作物､纺织工业原料､重要战略物资.量化我国棉花生产碳足迹，解析其时空变化规律，阐明其主要构成因素与影响要素，对于“碳达峰，碳中和”愿景下我国棉花绿色可持续生产具有重要意义.某地因地制宜发展特色棉花种植，随着人们种植意识的提升和科技人员的大力指导，越来越多的农田开始种植棉花，近4年该地区棉花种植面积如下表：（单位：百亩）
年度
2018
2019
2020
2021
年度代码x
1
2
3
4
种植面积y
306
347
390
420
参考公试：线性回归方程： $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
临界值表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.01
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
6.635

(1)、请利用所给数据求棉花种植面积y与年度代码x之间的回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并估计该地区2022年棉花的种植面积；

(2)、针对近几年来棉花出现的生理性蕾铃脱落，及棉花枯､黄萎病等问题，某科研小组随机抽查了100亩棉花，对是否按时足量施用硼肥和棉花产量进行统计得到如下数据：

亩产 $\geq 110 k g$
亩产 $< 110 k g$
未按时足量施用硼肥
20
10
按时足量施用硼肥
58
12
问：是否有90%的把握认为棉花产量与是否按时足量施用硼肥有关？

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15. 已知平面四边形 $A B C M$ 由等腰 $△ M A C$ 和 $R t △ A B C$ 组成， $A B ⊥ B C ， M A = M C$ ， O为 $A C$ 上的点且 $O A = O C = B C = 2$ （如图1所示），将等腰 $△ M A C$ 沿 $A C$ 折起，点M折至点D位置，使得平面 $D A C ⊥$ 平面 $A B C$ （如图2所示）.

(1)、求证： $D O ⊥ A B$ ；

(2)、若点E在棱 $D C$ 上，且满足 $D E = 2 E C$ ，平面 $E A B$ 和平面 $A B C$ 所成锐二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求四面体 $A B C D$ 的体积.

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16. 已知椭圆E经过点 $(\sqrt{2} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ 和点 $(- 1 ， \frac{\sqrt{6}}{3})$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、设圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，直线l与圆C相切于 $P (x_{0} ， y_{0}) ， x_{0} < 0$ ，与椭圆交于A，B两点，且 $| A B | = \sqrt{3}$ ，求直线l的方程.

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17. 已知函数 $f (x) = l n x - 2 a x ， a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) - l n x \leq a x c o s x - s i n x$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，求a的取值范围.

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18. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + 3 c o s α \\ y = 2 + 3 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $\sqrt{2} ρ c o s (θ + \frac{π}{4}) = 1$ .

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程以及直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、设点 $M (3 ， 2)$ ，直线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $A ， B$ 两点，求 $| M A | \cdot | M B |$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = | x - m | + | x + 2 |$ .

(1)、若 $f (x) \geq 4$ 的解集为R，求正数m的取值范围；

(2)、若 $m = 2$ ，函数 $f (x)$ 的最小值为t， $a + b + c = t$ ，求证： $(a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + (c + 2)^{2} \geq 12$ .

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三、填空题

20. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ ，相交所得的弦长为.

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21. 橘生淮南则为橘，生于准北则为枳，出自《屡子使楚》.意思是说，橘树生长在淮河以南的地方就是橘树，生长在淮河以北的地方就是积树，现在常用来比喻一旦环境改变，事物的性质也可能随之改变.某科研院校培育橘树新品种，使得橘树在淮北种植成功，经过科学统计，单个果品的质量 $ξ$ （单位：g）近似服从正态分布 $N (90 ， σ^{2})$ ，且 $P (86 < ξ \leq 90) = 0.2$ ，在有1000个的一批橘果中，估计单个果品质量不低于 $94 g$ 的橘果个数为.

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22. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 3 ， (x < 1) ， \\ f (x - 4) ， (x \geq 1) ， \end{array}$ ，则 $f (2022) =$ .

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23. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到 $y = g (x)$ 的图象，则下列有关 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的描述正确的有（填序号）.
① $g (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{3})$ ；
②方程 $f (x) + g (x) = \sqrt{6} (x \in (0 ， \frac{3 π}{2}))$ 所有根的和为 $\frac{7 π}{12}$ ；
③函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = g (x)$ 图象关于 $x = \frac{7 π}{24}$ 对称.

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年度	2018	2019	2020	2021
年度代码x	1	2	3	4
种植面积y	306	347	390	420

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.01
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	6.635

	亩产 $\geq 110 k g$	亩产 $< 110 k g$
未按时足量施用硼肥	20	10
按时足量施用硼肥	58	12