河南省重点高中2021-2022学年高二下学期理数阶段性调研联考试卷二

试卷更新日期：2022-03-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ， $a_{4} = 24$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、6 B、6或-6 C、12 D、12或-12

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2. 在 $△ A B C$ 中，若 $b = 3$ ， $c = 2$ ， $B = 4 5^{∘}$ ，则此三角形解的情况为（）

A、无解 B、两解 C、一解 D、解的个数不能确定

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3. 双曲线 $\frac{y^{2}}{8} - \frac{x^{2}}{2} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm 4 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{4} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \frac{1}{2} x$

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4. 已知关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - a x - b < 0$ 的解集是 $(- 2 ， 3)$ ，则 $a + b$ 的值是（）

A、-5 B、5 C、-7 D、7

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5. 对于两个平面 $α$ 、 $β$ ， “ $α$ 内有无数多个点到 $β$ 的距离相等”是“ $α / / β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的一个焦点为 $(- 2 ， 0)$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $- \sqrt{7}$ B、-1 C、1 D、 $\sqrt{7}$

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7. 若 $\overset{⇀}{a} = (2 ， 0 ， 1) ， \overset{⇀}{b} = (- 3 ， 1 ， - 1) ， \overset{⇀}{c} = (1 ， 1 ， 0)$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b} + 2 \vec{c} =$ （）

A、 $(2 ， - 4 ， 1)$ B、 $(- 10 ， 0 ， - 3)$ C、 $(- 2 ， 4 ， - 1)$ D、 $(10 ， 0 ， 3)$

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8. 已知 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{b} = (x ， 1 ， - 2)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 3$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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9. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 \geq 0 \\ y - 1 \geq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 函数 $f (x) = x + \frac{4}{x - 1}$ $(x \geq 5)$ 的最小值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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11. 《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有 $5$ 人分 $5$ 钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前 $2$ 人所得之和与后 $3$ 人所得之和相等，问各得多少钱?”，则第 $5$ 人得钱数为（）

A、 $\frac{2}{3}$ 钱 B、 $\frac{5}{6}$ 钱 C、1钱 D、 $\frac{7}{6}$ 钱

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12. 平面上动点 $P$ 到点 $M (1 ， 1)$ 的距离与它到直线 $l ： x + y - 1 = 0$ 的距离之比为 $\sqrt{2}$ ，则动点 $P$ 的轨迹是（）

A、双曲线 B、抛物线 C、椭圆 D、圆

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二、填空题

13. 命题“若a＞0，b＞0，则ab＞0”的逆否命题是（填“真命题”或“假命题”．）

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14. 已知抛物线的焦点为 $F$ ，准线与 $x$ 轴的交点为 $M$ ， $N$ 为抛物线上的一点，且满足 $| N F | = \frac{2}{3} | M N |$ ，则 $\tan ∠ N M F =$ .

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15. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ， $a > b > 0$ 的右焦点为 $F (3 ， 0)$ ，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为 $(1 ， - 1)$ ，则E的方程为.

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16. 已知 $f (x)$ 的定义域是 $(0 ， + \infty)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，且满足 $f (x) < f^{'} (x)$ ，则不等式 $e^{- x} f (x^{2} + x) > e^{x^{2} - 2} f (2)$ 的解集是.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = s i n x \cdot c o s x + c o s^{2} x ， x \in R$ .

(1)、求函数f(x)的最小正周期；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求函数f(x)的值域.

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18. 已知 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{3} = 5$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{5}$ ， $a_{14}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + 2^{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 8 y + 12 = 0$ ，直线 $l$ ： $a x + y + 2 a = 0$ ．

(1)、当 $a$ 为何值时，直线 $l$ 与圆 $C$ 相切；

(2)、当直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ 时，求直线 $l$ 的方程．

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20. 如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等边三角形，D是AC的中点.

(1)、证明：AB₁ //面BC₁D ；

(2)、若AA₁=AB，求二面角B₁-AC-C₁的余弦值.

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为F₁､F₂ ，上顶点为A，△AF₁F₂的周长为6，离心率等于 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过点(4，0)的直线l交椭圆C于M､N两点，且OM⊥ON，求直线l的方程.

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22. 已知函数f(x)=x-mlnx-m.

(1)、讨论函数f(x)的单调性；

(2)、若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) $\leq \frac{1}{e}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立.

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