河南省名校联盟2021-2022学年高三下学期理数第二次模拟试卷

试卷更新日期：2022-03-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $z = c o s \frac{2 π}{3} + i s i n \frac{2 π}{3}$ ，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 设全集 $U = R ， A = {x | 4 - x^{2} \geq 0} ， B = {x | x \leq - 1} ，$ 则下图阴影部分表示的集合为（）

A、 $(- 1 ， 2]$ B、 $[- 1 ， 2]$ C、 $[- 2 ， - 1)$ D、 $(- \infty ， - 1]$

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3. 已知 $m ， n$ 是平面 $α$ 内的两条直线，则“直线 $l ⊥ m$ 且 $l ⊥ n$ ”是“ $l ⊥ α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件的

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4. 党的十八夫以来，我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就，农村贫困人口大幅减少，解决困扰中华民族儿千年的贫困问题，取符历史性成就，同时为全球减贫事业作出了重要贡献.2020年为脱贫攻坚收官之年，下图为2013年至.2019年每年我国农村减贫人数的条形图．

根据该条形图分析，下述结论中正确的个数为（）

①平均每年减贫人数超过1300万；②每年减贫人数均保持在1100万以上；③打破了以往随着脱贫工作深入推进，难度越来越大，脱贫人数逐年减的规律；④历年减人数的中位数是1240（万人）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} = 15 ， S_{5} = 65$ ，则 $a_{1} + a_{4} =$ （）

A、24 B、26 C、28 D、30

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7. 已知直线 $l$ 将圆 $C ： x^{2} + y^{2} + x - 2 y + 1 = 0$ 平分，且与直线 $x + 2 y + 3 = 0$ 垂直，则 $l$ 的方程为（）

A、 $2 x + y = 0$ B、 $2 x + y - 3 = 0$ C、 $2 x - y - 4 = 0$ D、 $2 x - y + 2 = 0$

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8. 四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} = 2 \vec{D C} ， \vec{A B} \cdot \vec{B C} = 0 ， | \vec{A B} | = 2$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{D C} =$ （）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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9. 现有如下信息：
（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ；
（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形．
（3）有一个内角为 $3 6^{∘}$ 的等腰三角形为黄金三角形，
由上述信息可求得 $s i n 12 6^{∘} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{4}$

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10. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $A (2 ， y_{0})$ ， $F$ 为焦点，直线 $F A$ 交抛物线的准线于点 $M$ ，满足 $2 \vec{F A} = \vec{A M} ，$ 则抛物线方程为（）

A、 $y^{2} = 8 x$ B、 $y^{2} = 16 x$ C、 $y^{2} = 24 x$ D、 $y^{2} = 32 x$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图象图所示，关于此函数的下列描述：① $ω = 2$ ；② $φ = \frac{π}{3}$ ③若 $x_{1} + x_{2} = \frac{π}{3}$ ，则 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，④若 $x_{1} + x_{2} = \frac{π}{3}$ ，则 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，其中正确的命题是（）

A、②③ B、①④ C、①③ D、①②

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{2 e^{x}}{e^{x} - e^{- x}}$ 与函数 $g (x) = - x^{3} + 12 x + 1$ 的图象交点分别为： $P_{1} (x_{1} ， y_{1}) ， P (x_{2} ， y_{2})$ ，…， $P (x_{k} ， y_{k}) ， (k \in N^{*})$ ，则 $(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{k}) + (y_{1} + y_{2} + \dots + y_{k}) =$ （）

A、-2 B、0 C、2 D、4

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二、填空题

13. 已知变量x和y需满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y \geq 5 \\ x - y \leq 2 \\ x \leq 6 \end{array}$ ，则 $z = \frac{y}{x}$ 的最小值为.

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14. 宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中秦九韶､李冶､杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”.现从秦九韶的《数书九章》､李冶的《测圆海镜》《益古演段》､杨辉的《详解九章算法》､朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组，则有种不同的分配方式.

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} + l n \frac{x}{1 - x}$ ，设 $F (n) = f (\frac{1}{n}) + f (\frac{2}{n}) + ⋯ + f (\frac{n - 1}{n})$ ，其中 $n \in N^{*}$ 且 $n \geq 2$ ，则 $F (2021) =$ .

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16. 如图所示，在长方 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3 ， A D = 4 ， A A_{1} = 5$ ，点E是棱 $C C_{1}$ 上的一个动点，若平面 $B E D_{1}$ 交棱 $A A_{1}$ 于点F，则四棱锥 $B_{1} - B E D_{1} F$ 的体积为，截面四边形 $B E D_{1} F$ 的周长的最小值为.

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若向量 $\vec{m} = (1, \sqrt{2} a)$ ， $\vec{n} = (- a, \cos B)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$

(1)、求角 $B$

(2)、若 $b = 2 \sqrt{2}, a = 2 \sqrt{3}$ ，求角 $A$

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18. 2020年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严重洪涝灾害的考验.党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇，全党全社会戮力同心真抓实干，取得了积极成效．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积

x

与相应的管理时间

y

的关系如下表所示：

土地使用面积 $x$ （单位：亩）	1	2	3	4	5
管理时间 $y$ （单位：月）	8	11	14	24	23

并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示；

	愿意参与管理	不愿意参与管理
男性村民	140	60
女性村民	40

参考公式： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$

参考数据： $\bar{y} = 16 ， {\sum (y - \bar{y})}^{2} = 206 ， \sqrt{515} \approx 22.7$

(1)、做出散点图，判断土地使用面积

x

与管理时间

y

是否线性相关；并根据相关系数

r

说明相关关系的强弱．(若

| r | \geq 0.75

，认为两个变量有很强的线性相关性，

r

值精确到0.001) .

(2)、若以该村的村民的性别与参与管理意风的情况估计贫困县的情况，且每位村民参与管理的意互不影响，则从该贫困县村民中任取3人，记取到不愿意参与管理的女性村民的人数为

X

，求

X

的分布列及数学期望.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A_{1} B_{1} C_{1} ， ∠ B A C = 90^{°} ， A B = 4 ， A C = 2 ， M$ 是 $A B$ 中点， $N$ 是 $A_{1} B_{1}$ 中点， $P$ 是 $B C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 的交点，点 $Q$ 在线段 $C_{1} N$ 上.

(1)、求证： $P Q ∥$ 平面 $A_{1} C M$

(2)、若二面角 $A_{1} - C M - A$ 的余弦值是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求点 $B$ 到平面 $A_{1} C M$ 的距离

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20. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上的点 $(x_{0} ， 1)$ 到其焦点 $F$ 的距离为 $\frac{3}{2}$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点.过原点 $O$ 垂直于 $l$ 的直线与抛物线 $C$ 的准线相交于 $Q$ 点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程及 $F$ 的坐标

(2)、设 $△ O A B ， △ Q A B$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，求 $\frac{1}{S_{1}} - \frac{1}{S_{2}}$ 的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 x + \sin x$ ， $g (x) = e^{x} (- \sin x + \cos x + a)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、 $\exists x_{1}$ 、 $x_{2} \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，使得不等式 $g (x_{1}) \geq f (x_{2})$ 成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、不等式 $\frac{f^{'} (x) - m}{x} > \ln x$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，求整数 $m$ 的最大值.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \sin θ$

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程

(2)、已知点 $P$ 的直角坐标为 $(0, 1)$ ， $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，求 $| P A | + | P B |$

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 4 | + | 1 - x | ， x \in R$

(1)、解不等式： $f (x) \leq 5$

(2)、记 $f (x)$ 的最小值为 $M$ ，若正实数 $a ， b$ 满足 $a + b = M$ ，试求： $\frac{1}{a + 2} + \frac{1}{b + 1}$ 的最小值

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