河北省石家庄市2022届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2022-03-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $x \in R$ ，则“ $x < - 1$ ”是“ $x^{2} > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 若角 $α$ 终边经过点 $(- 2 ， 1)$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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3. 若复数 $z = (1 + 2 i) (a - i)$ 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数 $a$ 的取值范围是（）.

A、 $(- \frac{1}{2} ， 2)$ B、 $(- 2 ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， 2)$ D、 $(- \infty ， - 2) ∪ (\frac{1}{2} ， + \infty)$

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4. 函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{2^{x} + 2^{- x}}$ 的部分图象大致是（）.

A、 B、 C、 D、

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5. 与直线 $x + 2 y + 1 = 0$ 垂直，且与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切的直线方程是（）.

A、 $2 x + y + \sqrt{5} = 0$ 或 $2 x + y - \sqrt{5} = 0$ B、 $2 x + y + 5 = 0$ 或 $2 x + y - 5 = 0$ C、 $2 x - y + \sqrt{5} = 0$ 或 $2 x - y - \sqrt{5} = 0$ D、 $2 x - y + 5 = 0$ 或 $2 x - y - 5 = 0$

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6. 小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（）.

A、8 B、12 C、16 D、20

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7. 《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵” $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = A A_{1} = \sqrt{6}$ ，动点 $M$ 在“堑堵”的侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 上运动，且 $A M = 2$ ，则 $∠ M A B$ 的最大值为（）.

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{5 π}{12}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$

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8. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ），过原点 $O$ 的直线交 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $B$ 在右支上），双曲线右支上一点 $P$ （异于点 $B$ ）满足 $\vec{B A} \cdot \vec{B P} = 0$ ，直线 $P A$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ，若 $∠ A D O = ∠ A O D$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）.

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、3

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二、多选题

9. 正态分布 $N (1 ， σ^{2})$ 的正态密度曲线如图所示，则下列选项中，可以表示图中阴影部分面积的是（）.

A、 $\frac{1}{2} - P (X \leq 0)$ B、 $\frac{1}{2} - P (X \geq 2)$ C、 $\frac{1}{2} P (X \leq 2) - \frac{1}{2} P (X \leq 0)$ D、 $\frac{1}{2} - P (1 \leq X \leq 2)$

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10. 已知 $a$ 、 $b$ 分别是方程 $2^{x} + x = 0$ ， $3^{x} + x = 0$ 的两个实数根，则下列选项中正确的是（）.

A、 $- 1 < b < a < 0$ B、 $- 1 < a < b < 0$ C、 $b \cdot 3^{a} < a \cdot 3^{b}$ D、 $a \cdot 2^{b} < b \cdot 2^{a}$

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 、 $N$ 分别是棱 $A_{1} D_{1}$ 、 $A B$ 的中点，则下列选项中正确的是（）.

A、 $M C ⊥ D N$ B、 $A_{1} C_{1} / /$ 平面 $M N C$ C、异面直线 $M D$ 与 $N C$ 所成的角的余弦值为 $\frac{1}{5}$ D、平面 $M N C$ 截正方体所得的截面是五边形

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12. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n + 1} = - S_{n} + n^{2}$ ，则下列选项中正确的是（）.

A、 $a_{n} + a_{n + 1} = 2 n - 1$ （ $n \geq 2$ ） B、 $a_{n + 2} - a_{n} = 2$ C、若 $a_{1} = 0$ ，则 $S_{100} = 4950$ D、若数列 ${a_{n}}$ 单调递增，则 $a_{1}$ 的取值范围是 $(- \frac{1}{4} ， \frac{1}{3})$

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三、填空题

13. 向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ =.

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14. 已知角 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $t a n \frac{π}{12} = \frac{s i n α - s i n \frac{π}{12}}{c o s α + c o s \frac{π}{12}}$ ，则 $α =$ .

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15. 设点 $M$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 上的动点，点 $N$ 是圆 $E$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点，且直线 $M N$ 与圆 $E$ 相切，则 $| M N |$ 的最小值是.

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16. 若 $\exists x \in [0 ， 2]$ ，使不等式 $(e - 1) l n a \geq a e^{1 - x} + e (x - 1) - x$ 成立，其中 $e$ 为自然对数的底数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 各项均为正数，公差 $d < 3$ ，若分别从下表第一、二、三行中各取一个数，依次作为 $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $a_{5}$ ，且 $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $a_{5}$ 中任何两个数都不在同一列.

第一列
第二列
第三列
第一行
3
5
6
第二行
7
4
8
第三行
11
12
9

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{8}{(a_{n} + 1) \cdot (a_{n + 1} + 3)}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{3}{2}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $\sqrt{3} a c o s C - a s i n C = \sqrt{3} b$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 长度的最小值.

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19. 2021年9月3日，教育部召开第五场金秋新闻发布会，会上发布了第八次全国学生体质与健康调研结果.根绝调研结果数据显示，我国大中小中学的健康情况有了明显改善，学生总体身高水平也有所增加.但同时在超重和肥胖率上，中小学生却有一定程度上升，大学生整体身体素质也有所下滑.某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如下：

优秀
良好
及格
不及格
男生
100
200
780
120
女生
120
200
520
120
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.050
0.010
0.001
$k_{0}$
3.841
6.635
10.828

(1)、根据所给数据，完成下面 $2 \times 2$ 列联表，并据此判断：能否有95%的把握认为该市学生体质测试是否达标与性别有关.（注：体质测试成绩为优秀、良好或及格则体质达标，否则不达标）

达标
不达标
合计
男生
女生
合计

(2)、体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男、女生体质测试成绩优良的频率视为该市男、女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机选取2名男生，2名女生，设所选4人中体质测试成绩优良人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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20. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $∠ B A D$ 为直角， $A D / / B C$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2 \sqrt{2}$ ，将三角形 $A B D$ 沿 $B D$ 折起至 $P B D$ .

(1)、若平面 $P B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，求证： $P B ⊥ P C$ ；

(2)、设 $E$ 是 $P C$ 的中点，若二面角 $E - B D - C$ 为30°，求二面角 $P - B D - C$ 的大小.

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21. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ），过点 $T (- 1 ， 1)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的左侧）， $M$ 为线段 $A B$ 的中点.当直线 $l$ 斜率为 $- 1$ 时，中点 $M$ 的纵坐标为 $- \frac{1}{2}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若线段 $A M$ 上存在点 $N$ ，使得 ${| M A |}^{2} = | M N | \cdot | M T |$ ，求点 $N$ 的轨迹方程.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 x - \frac{k}{x} - (k + 1) l n x$ ， $k > 0$ .

(1)、当 $k = 1$ 时，过坐标原点 $O$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线，求切线方程；

(2)、设定义在 $I$ 上的函数 $y = h (x)$ 在点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 处的切线方程为 $y = l (x)$ ，对任意 $x \neq x_{0}$ ，若 $(h (x) - l (x)) (x - x_{0}) > 0$ 在 $I$ 上恒成立，则称点 $P$ 为函数 $y = h (x)$ 的“好点”，求函数 $y = f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上所有“好点”的横坐标（结果用 $k$ 表示）.

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	第一列	第二列	第三列
第一行	3	5	6
第二行	7	4	8
第三行	11	12	9

	优秀	良好	及格	不及格
男生	100	200	780	120
女生	120	200	520	120

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828

	达标	不达标	合计
男生
女生
合计