广西名校2022届高三理数第一次联合考试试卷

试卷更新日期：2022-03-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z ∣ x^{2} - x - 6 < 0}$ ， $B = {x ∣ x < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、 $[- 1 ， 2]$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 若复数z满足 $(1 - i) z = 2 (3 + i)$ ，则z的虚部等于（）

A、4i B、2i C、2 D、4

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3. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如下图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{b} \cdot (\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}) = 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）．

A、30° B、60° C、120° D、150°

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5. 如图， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点，点P在椭圆上， $△ P O F_{2}$ 是面积为 $4 \sqrt{3}$ 的正三角形，则 $b^{2}$ 的值是（）．

A、 $8 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $4 + 2 \sqrt{3}$

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6. 北京2022年冬奥会即将开幕，北京某大学5名同学报名到甲､乙､丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（）

A、90种 B、125种 C、150种 D、243种

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7. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列，若 $a_{2} \cdot a_{3} = a_{1}$ ，且 $a_{4}$ 与 $2 a_{7}$ 的等差中项为 $\frac{5}{8}$ ，则 $a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot a_{4}$ 的值为（）．

A、5 B、512 C、1024 D、64

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $A$ 是双曲线渐近线上一点，且 $A F_{1} ⊥ A O$ (其中 $O$ 为坐标原点)， $A F_{1}$ 交双曲线于点 $B$ ，且 $| A B | = | B F_{1} |$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{26}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{34}}{4}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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9. 瀑布是庐山的一大奇观，为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为 $\frac{3}{2}$ ，沿山道继续走20m，抵达B点位置测得瀑布顶端的仰角为 $\frac{π}{3}$ ．已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为 $\frac{π}{3}$ ，则该瀑布的高度约为（）．

A、60m B、90m C、108m D、120m

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10. 若 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $\frac{s i n α}{2 - c o s α} = t a n \frac{α}{2}$ ，则 $t a n α =$ （）．

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (- x) = 0$ ，且当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时， $f (x) + x f^{'} (x) < 0$ 成立，若 $a = (2^{0.6}) \cdot f (2^{0.6})$ ， $b = (l n 2) \cdot f (l n 2)$ ， $c = (l o g_{2} \frac{1}{8}) \cdot f (l o g_{2} \frac{1}{8})$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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12. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为2的正方形，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 平面ABCD，且 $A A_{1} = 4$ ， E、F分别是AB、BC的中点，P是线段 $D D_{1}$ 上的一个动点（不含端点），过P、E、F的平面记为 $α$ ， Q在 $C C_{1}$ 上且 $C Q = 1$ ，则下列说法正确的个数是（）．
①三棱锥 $C_{1} - P A C$ 的体积是定值；②当直线 $B Q / / α$ 时， $D P = 2$ ；③当 $D P = 3$ 时，平面 $α$ 截棱柱所得多边形的周长为 $7 \sqrt{2}$ ；④存在平面 $α$ ，使得点 $A_{1}$ 到平面 $α$ 距离是A到平面 $α$ 距离的两倍．

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 若曲线 $f (x) = \frac{a}{x} - 1 (a \neq 0)$ 在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线斜率为2，则 $a =$ ．

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14. 2020年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要，某高中学校需要安排男教师 $x$ 名，女教师 $y$ 名做义工， $x$ 和 $y$ 需满足条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y \geq 5 \\ x - y \leq 2 \\ x \leq 6 \end{array}$ ，则该校安排教师最多为人

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15. 将函数 $f (x) = 2 c o s x$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2 ω} (ω > 0)$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上没有零点，则 $ω$ 的取值范围是.

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16. 已知 $f (x) = 1 + a x - \sqrt{1 + a x^{2}}$ 若对任意 $x \in [0 ， \sqrt{2}]$ ， $f (x) \leq 0$ 恒成立，则实数a的取值范围为.

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三、解答题

17. 已知在各项均为正数的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 21$ ，且 $a_{2} - 1$ ， $a_{3} + 1$ ， $a_{4} + a_{3}$ 构成等比数列 ${b_{n}}$ 的前三项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $c_{n} =$ ___________，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .请在① $a_{n} b_{n}$ ；② $\frac{b_{n}}{(b_{n} - 1) (b_{n + 1} - 1)}$ ；③ $(- 1)^{n} a_{n} + n$ 这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.

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18. 某商品的包装纸如图1，其中菱形 $A B C D$ 的边长为3，且 $∠ A B C = 60 °$ ， $A E = A F = \sqrt{3}$ ， $B E = D F = 2 \sqrt{3}$ ，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点 $E$ ， $F$ ， $M$ ， $N$ 汇聚为一点 $P$ ，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹.

(1)、证明： $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ；

(2)、设点 $T$ 为 $B C$ 上的点，且二面角 $B - P A - T$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ ，试求 $P B$ 与平面 $P A T$ 所成角的正弦值.

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19. 如图，P是抛物线E：y²＝4x上的动点，F是抛物线E的焦点．

(1)、求|PF|的最小值；

(2)、点B，C在y轴上，直线PB，PC与圆（x﹣1）²+y²＝1相切．当|PF|∈[4，6]时，求|BC|的最小值．

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20. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{a}{x}$ ， $g (x) = e^{x} + s i n x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、试讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a = 1$ ，证明： $f (x) < \frac{g (x)}{x}$ .

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21. 为2020年全国实现全面脱贫，湖南贫团县保靖加大了特色农业建设，其中茶叶产业是重要组成部分，由于当地的地质环境非常适宜种植茶树，保靖的“黄金茶”享有“一两黄金一两茶”的美誉.保靖县某茶场的黄金茶场市开发机构为了进一步开拓市场，对黄金茶交易市场某个品种的黄金茶日销售情况进行调研，得到这种黄金茶的定价 $x$ （单位：百元/ $k g$ ）和销售率 $y$ （销售率是销售量与供应量的比值）的统计数据如下：
$x$
10
20
30
40
50
60
$y$
0.9
0.65
0.45
0.3
0.2
0.175
参考数据： $y$ 与 $x$ 的相关系数 $r_{1} \approx - 0.96$ ， $y$ 与 $z$ 的相关系数 $r_{2} \approx 0.99$ ， $\bar{x} = 35$ ， $\bar{y} \approx 0.45$ ， $\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 9100$ ， $\bar{z} \approx 3.40$ ， $6 {\bar{z}}^{2} \approx 69.32$ ， $\sum_{i = 1}^{6} y_{i} z_{i} \approx 8.16$ ， $\sum_{i = 1}^{6} z_{i}^{2} \approx 71.52$ ， $e^{3} \approx 20.1$ ， $e^{3.4} \approx 30.0$ ， $e^{3.5} \approx 33.1$ ， $e^{4} \approx 54.6$ .
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^{2}}}$ .

(1)、设 $z = l n x$ ，根据所给参考数据判断，回归模型 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 与 $\hat{y} = \hat{b} z + \hat{a}$ 哪个更合适？并根据你的判断结果求回归方程（ $\hat{a}$ ， $\hat{b}$ 的结果保留一位小数）；

(2)、某茶场的黄金茶生产销售公司每天向茶叶交易市场提供该品种的黄金茶 $1200 k g$ ，根据（1）中的回归方程，估计定价 $x$ （单位：百元/ $k g$ ）为多少时，这家公司该品种的黄金茶的日销售额 $W$ 最大，并求 $W$ 的最大值.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，由 $x^{2} + y^{2} = 1$ 经过伸缩变换 ${\begin{array}{l} x^{'} = 2 x \\ y^{'} = y \end{array}$ 得到曲线 $C_{1}$ ，以原点为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 c o s θ$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程以及曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = α (ρ \in R)$ ， $l$ 与曲线 $C_{1}$ 、曲线 $C_{2}$ 在第一象限交于 $P$ 、 $Q$ ，且 $| O P | = | P Q |$ ，点 $M$ 的极坐标为 $(1 ， \frac{π}{2})$ ，求 $△ P M Q$ 的面积．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | - | x - 2 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) + x > 0$ 的解集；

(2)、设函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = k (x + 2) - 4$ 有3个交点，求 $k$ 的取值范围.

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$x$	10	20	30	40	50	60
$y$	0.9	0.65	0.45	0.3	0.2	0.175