广东省七校联合体2021-2022学年高二下学期数学（2月）联考试卷

试卷更新日期：2022-03-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x < 0}$ ， $B = {x | x \leq 1}$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $[0 ， 1]$ C、 $(0 ， + ∞)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (3 ， λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $- \frac{9}{2}$ C、-2 D、2

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3. 如图是古希腊数学家希波克拉底用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以AB为直径构造半圆O，C为弧AB的中点，D为线段AC的中点，再以AC为直径构造半圆D，则由曲线AEC和曲线AFC所围成的图形为月牙形．若 $A B = 4$ ，则该月牙形图形的面积为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} π$ D、2

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4. 已知 $t a n α = - 2$ ，则 $s i n^{2} α + 2 s i n α c o s α$ 的值为（）

A、 $\frac{8}{5}$ B、1 C、0 D、 $- \frac{8}{5}$

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5. 设 $a \in R$ ，则“ $a = - 2$ ”是“直线 $l_{1}$ ： $a x + 2 y = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $x + (a + 1) y + 4 = 0$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (3 - a) x - 4 ， x \leq 8 \\ a^{x - 7} ， x > 8 \end{array}$ ，若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = f (n)$ （ $n \in N^{*}$ ）且 ${a_{n}}$ 是递增数列，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{9}{4} ， 3)$ B、 $[\frac{9}{4} ， 3)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $[2 ， 3)$

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7. 信号在传输介质中传播时，将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收，从而造成信号强度不断减弱，这种现象称为衰减.在试验环境下，超声波在某种介质的传播过程中，声压的衰减过程可以用指数模型： $P (s) = P_{0} e^{- K s}$ 描述声压 $P (s)$ （单位：帕斯卡）随传播距离 $s$ （单位：米）的变化规律，其中 $P_{0}$ 为声压的初始值，常数 $K$ 为试验参数.若试验中声压初始值为 $900$ 帕斯卡，传播 $5$ 米声压降低为 $400$ 帕斯卡，据此可得试验参数 $K$ 的估计值约为（）（参考数据： $l n 2 \approx 0.69$ ， $l n 3 \approx 1.10$ ）

A、0.162 B、0.164 C、0.166 D、0.168

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8. 若 $△ A B C$ 的外接圆半径为2，且 $A B = 2$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， 6]$ B、 $[2 ， 6]$ C、 $[- 2 ， 2]$ D、 $[2 ， 4]$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、直线 $x s i n α - y + 1 = 0$ 的倾斜角的取值范围为 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4} ， π)$ B、直线 $l$ ： $λ x + y - 3 λ + 1 = 0$ （ $λ \in R$ ）恒过定点 $(3 ， 1)$ C、直线 $y = - 2 x + 5$ 且与圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 相切 D、圆 $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y - 12 = 0$ 的公共弦长为 $2 \sqrt{2}$

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10. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x - \frac{2}{x + 1}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) = - 2$ B、 $| f (x) |$ 的单调递增区间为（-1，0），（1，+ $\infty$ ） C、当 $x < 0$ 时， $f (x) = x + \frac{2}{1 - x}$ D、 $x f (x) < 0$ 的解集为（- $\infty$ ， -1） $∪$ （1，+ $\infty$ ）

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11. 已知函数 $f (x) = 2 s i n ω x c o s ω x + 2 \sqrt{3} c o s^{2} ω x - \sqrt{3}$ （ $ω > 0$ ）的零点依次构成一个公差为 $\frac{π}{2}$ 的等差数列，把函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ （）

A、是偶函数 B、其图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 C、在 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上是减函数 D、在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ 上的值域为 $[- \sqrt{3} ， 2]$

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12. 过双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点F引C的一条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若 $\vec{F B} = λ \vec{A F}$ ， $2 \leq λ \leq 3$ ，则C的离心率可以是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、2

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三、填空题

13. 设 $a \in R$ ，复数 $z_{1} = 3 - 4 i$ ， $z_{2} = a + 2 i$ ，若 $\frac{z_{2}}{z_{1}}$ 是纯虚数，则 $a =$ ．

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14. 甲､乙两人打靶，已知甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.7，若甲､乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为.

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15. 历史上数列折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…它满足 $f (1) = f (2) = 1$ ，且满足递推关系 $f (n + 1) = f (n) + f (n - 1)$ ，（ $n \geq 3$ ， $n \in N^{*}$ ），此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若将此数列的每一项除以4后的余数构成一个新数列 ${a_{n}}$ ，则 $a_{2022} =$ ．

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16. 如图，已知边长为2的正方形 $A B C D$ 与正方形 $B C F E$ 所在平面互相垂直， $P$ 为 $E F$ 的中点， $Q$ 为线段 $F C$ 上的动点，当三棱锥 $P - A B Q$ 的体积最大时，三棱锥 $P - A B Q$ 的外接球的表面积为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是前 $n$ 项和为 $S_{n} = 2^{n + 1} - 2$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = a_{n} + l o g_{2} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 在① $\frac{s i n A}{s i n B} + \frac{s i n B}{s i n A} + 1 = \frac{c^{2}}{a b}$ ， ② $(a + 2 b) c o s C + c c o s A = 0$ ， ③ $\sqrt{3} a s i n \frac{A + B}{2} = c s i n A$ ．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且____．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积等于 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长的最小值．

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19. 旨在全面提高国民体质和健康水平，1995年国务院颁布了《全民健身计划纲要》，并在2009年将每年8月8日设置为“全民健身日”，倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定．某小区为了调查居民的体育运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：

(1)、求 $a$ 的值，并求这100位居民锻炼时间的第20百分位数；

(2)、若规定 $[0 ， 10]$ 为第一组，依次往下，现采用分层抽样的方法从第三组和第五组随机抽取6名成年人进行体质测定，再从这6人中随机抽取2人进行跟踪调查，求这2人中，两组各有1人的概率．

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20. 如图，在直角梯形 $A A_{1} B_{1} B$ 中， $∠ A_{1} A B = 9 0^{∘} ， A_{1} B_{1} / / A B ， A B = A A_{1} = 2 A_{1} B_{1} = 2$ ，直角梯形 $A A_{1} C_{1} C$ 通过直角梯形 $A A_{1} B_{1} B$ 以直线 $A A_{1}$ 为轴旋转得到，且使得平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ . $M$ 为线段 $B C$ 的中点， $P$ 为线段 $B B_{1}$ 上的动点

(1)、求证： $A_{1} C_{1} ⊥ A P$

(2)、当点 $P$ 是线段 $B B_{1}$ 中点时，求二面角 $P - A M - B$ 的余弦值

(3)、是否存在点 $P$ ，使得直线 $A_{1} C / /$ 平面 $A M P$ ？请说明理由.

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21. 在平面直角坐标系中，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ，点 $P$ 为椭圆 $C$ 上的动点，当点 $P$ 为短轴顶点时，△ $F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，椭圆短轴长为2.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 过定点 $(1 ， 0)$ 且与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $A$ ， $B$ ，点 $M$ 是椭圆 $C$ 的右顶点，直线 $A M$ ， $B M$ 分别与 $y$ 轴交于 $P$ ､ $Q$ 两点，试问：以线段 $P Q$ 为直径的圆是否过 $x$ 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.

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22. 已知 $f (x) = a x^{2} - 2 (a + 1) x + 3 (a \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $[\frac{3}{2} ， 3]$ 单调递减，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、令 $h (x) = \frac{f (x)}{x - 1}$ ，若存在 $x_{1} ， x_{2} \in [\frac{3}{2} ， 3]$ ，使得 $| h (x_{1}) - h (x_{2}) | \geq \frac{a + 1}{2}$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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