广东省茂名市五校联盟2022届高三下学期数学第三次联考试卷

试卷更新日期：2022-03-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = Z$ ，集合 $A = {1 ， 3 ， 6 ， 7 ， 8}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A、 ${0 ， 2 ， 4}$ B、 ${2 ， 4}$ C、 ${0 ， 2 ， 3 ， 4}$ D、 ${1 ， 3}$

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2. 甲、乙两个跑步爱好者利用微信运动记录了去年下半年每个月的跑步里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中错误的是（）

A、甲跑步里程的极差等于110 B、乙跑步里程的中位数是273 C、分别记甲、乙下半年每月跑步里程的平均数为 $m_{1}$ ， $m_{2}$ ，则 $m_{1} > m_{2}$ D、分别记甲乙下半年每月跑步里程的标准差为 $s_{1}$ ， $s_{2}$ ，则 $s_{1} > s_{2}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (c o s α ， s i n α)$ ， $\vec{b} = (1 ， - \sqrt{3})$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{5}$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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4. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{n} \neq 0$ ，若 $S_{9} = a_{5}^{2}$ ， $a_{1} = 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、-3 B、3 C、-1 D、2

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5. 已知圆C： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，点 $M$ 是圆上的动点， $A M$ 与圆相切，且 $| A M | = 2$ ，则点 $A$ 的轨迹方程是（）

A、 $y^{2} = 4 x$ B、 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 3 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} - 2 y - 3 = 0$ D、 $y^{2} = - 4 x$

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6. 《长津湖》和《我和我的父辈》都是2021年国庆档的热门电影．某电影院的某放映厅在国庆节的白天可以放映6场，晚上可以放映4场电影．这两部影片只各放映一次，且两部电影不能连续放映（白天最后一场和晚上第一场视为不连续），也不能都在白天放映，则放映这两部电影不同的安排方式共有（）

A、30种 B、54种 C、60种 D、64种

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7. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，双曲线的左顶点为 $A$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于 $P$ ， $Q$ 两点，其中点 $Q$ 在 $y$ 轴右侧，若 $| A Q | \geq 2 | A P |$ ，则该双曲线的离心率的取值范围是（）

A、 $(1 ， \sqrt{3}]$ B、 $[\sqrt{3} ， + \infty)$ C、 $(1 ， \frac{\sqrt{21}}{3}]$ D、 $[\frac{\sqrt{21}}{3} ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象关于 $x = \frac{π}{4}$ 对称， $f (- \frac{π}{4}) = 0$ ，且 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上恰有3个极大值点，则 $ω$ 的值等于（）

A、1 B、3 C、5 D、6

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二、多选题

9. 已知复数z的共轭复数为 $\bar{z}$ ，若 $i z = 1 + i$ ，则（）

A、z的实部是1 B、z的虚部是 $- i$ C、 $\bar{z} = 1 + i$ D、 $| z | = 2$

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10. 已知 $a = \frac{2}{l n 2}$ ， $b = e$ ， $c = \frac{3}{l n 3}$ （其中 $e$ 为自然对数的底数），则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b$ B、 $b > c$ C、 $c = a$ D、 $c < a$

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $O$ 是底面 $A B C D$ 的中心，点 $M$ 是侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 内的一个动点，且 $O M / /$ 平面 $C_{1} A_{1} D$ ，则以下关系一定正确的是（）

A、 $O M / / D C_{1}$ B、 $V_{M - C_{1} A_{1} D} = V_{C - C_{1} A_{1} D}$ C、 $O M ⊥ B_{1} C$ D、 $O M ⊥ B D_{1}$

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12. 设函数 $f (x) = \frac{x - l n | x |}{x}$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、函数 $y = f (x) - 1$ 有两个零点 C、函数 $y = f (x) + f (2 x)$ 的图象关于点 $(0 ， 2)$ 对称 D、过原点与函数 $f (x)$ 相切的直线有且只有一条

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三、填空题

13. 若椭圆的短轴长为6，右焦点到左顶点的距离是9，则椭圆的离心率为．

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14. 已知函数 $f (x)$ 为奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{3} - 2 l n x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程为．

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15. 设 $n \in N^{*}$ ， $\vec{a_{1}}$ ， $\vec{a_{2}}$ ， $⋯$ ， $\vec{a_{n}}$ 是一组平面向量，记 $\vec{s_{n}} = \vec{a_{1}} + \vec{a_{2}} + ⋯ + \vec{a_{n}}$ ，若向量 $\vec{a_{n}} = (4 - n ， 1)$ ，且 $\vec{a_{n}} ⊥ \vec{s_{n}}$ ，则 $n =$ ．

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16. 已知菱形 $A B C D$ ， $A B = B D = 2$ ，现将 $△ A B D$ 沿对角线 $B D$ 向上翻折，得到三棱锥 $A - B C D$ ，若点 $E$ 是 $A C$ 的中点， $△ B D E$ 的面积为 $S_{1}$ ，三棱锥 $A - B C D$ 的外接球被平面 $B D E$ 截得的截面面积为 $S_{2}$ ，则 $S_{1} \cdot S_{2}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(a - \sqrt{3} b) s i n A = (c - b) (s i n C + s i n B)$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $s i n A + c o s B$ 的取值范围．

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18. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2 n + 1} - a_{2 n - 1} = 3 \cdot 4^{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = {\begin{array}{l} l o g_{2} a_{n} ， n 为奇数， \\ a_{n - 1} ， n 为偶数 . \end{array}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ ．

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19. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，点 $M$ 在棱 $A A_{1}$ 上， $B M ⊥ M C_{1}$ ．

(1)、证明： $B M ⊥$ 平面 $M B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $M$ 是 $A A_{1}$ 的中点，求二面角 $B - M C - C_{1}$ 的正弦值．

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20. 已知 $F$ 是抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，不过原点的动直线交抛物线 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点， $M$ 是线段 $A B$ 的中点，点 $M$ 在准线 $l$ 上的射影为 $N$ ，当 $\vec{A F} = \vec{F B}$ 时， $| A N | = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、当 $\vec{N A} \cdot \vec{N B} = 1$ 时，求证：直线 $A B$ 过定点．

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21. 2022年北京冬奥会有包括中国队在内的12支男子冰球队参加比赛，12支参赛队分为三组，每组四队，2月9号至13号将进行小组赛，小组赛采取单循环赛制，即每个小组的四支参赛队在比赛中均能相遇一次，最后按各队在比赛中的得分多少来排列名次．小组赛结果的确定规则如下：
①在常规时间里，获得最多进球的队为获胜者，获胜者得3分；
②在常规时间里，如果双方进球相等，每队各得1分．比赛继续进行，以突然死亡法（即在规定的时间内有一方进球）加时赛决出胜负，突然死亡法加时赛中获胜的队将额外获得1分；
③在突然死亡法加时赛中，如果双方都没有得分，那么进行点球赛，直至决出胜负，在点球赛中获胜的队将额外获得1分．
若在小组赛中，甲队与乙队相遇，在常规时间里甲队获胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ，进球数相同的概率为 $\frac{1}{4}$ ；在突然死亡法加时赛中，甲队获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，双方都没有得分的概率为 $\frac{1}{6}$ ；在点球赛中，甲队获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，假设各比赛结果相互独立．

(1)、在甲队与乙队的比赛中，求甲队得2分获胜的概率；

(2)、在甲队与乙队的比赛中，求甲队得分 $X$ 的分布列及数学期望．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{l n (x + 1)}{x} + a x$ （ $a \in Z$ ）．

(1)、当 $a = 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若对任意 $x \in (- 1 ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ ， $f (x) > 0$ 恒成立，求整数a的所有取值．

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