广东省六校2022届高三下学期数学第四次联考试卷

试卷更新日期：2022-03-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x > 0}$ ， $B = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则 $∁_{R} A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2.
如图，在复平面内，复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 对应的向量分别是 $\vec{O A} ， \vec{O B}$ ，则复数 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 北京冬奥会已在北京和张家口市如火如荼的进行. 为了纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”. 先从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有2枚会徽邮票的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{2}{5}$

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4. 已知一组数据共10个数（10不全相等），方差为 $s_{1}^{2}$ ，增加一个数后得到一组新数据，新数据的平均数不变，方差为 $s_{2}^{2}$ ，则 $\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} =$ （）

A、 $\frac{10}{11}$ B、1 C、 $\frac{11}{10}$ D、 $\frac{10}{9}$

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5. 已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为1，且 $\vec{B E} = 2 \vec{E C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{C D} =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $- \frac{1}{6}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = 2 c o s (2 x + \frac{3 π}{10}) - 1$ B、 $f (x) = 1 - c o s (2 x + \frac{3 π}{10})$ C、 $f (x) = 1 + s i n (2 x - \frac{π}{5})$ D、 $f (x) = 1 - s i n (2 x - \frac{π}{5})$

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7. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数 $f (x) = x^{2} + \frac{a}{| x |}$ （ $a \in R$ ）的图像不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $A A_{1} = 6$ ， $A B = 4$ ， $A C = 3$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， P为侧棱 $C C_{1}$ 的中点，则四棱锥 $P - A A_{1} B_{1} B$ 外接球的表面积为（）

A、13π B、52π C、104π D、208π

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二、多选题

9. 在平面直角坐标系中，已知 $A (0 ， 1)$ ，设下列圆锥曲线的焦点是 $F$ ，则满足 $| A F | = 2$ 的有（）

A、 $x^{2} = - 4 y$ B、 $y^{2} = 2 \sqrt{3} x$ C、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

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10. 已知 $α$ ， $β$ 是二个不重合的平面， $l$ 是直线．给出下列命题，其中正确的命题有（）

A、若 $l$ 上两点到 $α$ 的距离相等，则 $l / / α$ B、若 $l ⊥ α$ ， $l / / β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α / / β$ ， $l ⊄ β$ ，且 $l / / α$ ，则 $l / / β$ D、若直线 $m ， n$ 满足： $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，且 $α ⊥ β$ ，则 $m / / n$

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11. 已知 $x ， y \in (0 ， + \infty)$ ，设 $M = 2 x + y$ ， $N = x y$ ，以下四个命题中正确的有（）

A、若 $N = 1$ ，则 $M$ 有最小值 $2 \sqrt{2}$ B、若 $M + N = 6$ ，则 $N$ 有最大值2 C、若 $M = 1$ ，则 $0 < N \leq \frac{1}{8}$ D、若 $M^{2} = 3 N + 1$ ，则 $M$ 有最小值 $\frac{8}{5}$

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12. 设随机变量

ξ

的分布列如下：

$ξ$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$P$	$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{4}$	$a_{5}$	$a_{6}$	$a_{7}$	$a_{8}$	$a_{9}$	$a_{10}$

则（）

A、当

{a_{n}}

为等差数列时，

a_{3} + a_{6} = \frac{1}{6}

B、数列

{a_{n}}

的通项公式可能为

a_{n} = \frac{11}{10 n (n + 1)}

C、当数列

{a_{n}}

满足

a_{n} = \frac{1}{2^{n}} (n = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 9)

时，

a_{10} = \frac{1}{2^{9}}

D、当数列

{a_{n}}

满足

P (ξ \leq k) = k^{2} a_{k} (k = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， 10)

时，

a_{n} = \frac{11}{10 n (n + 1)}

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三、填空题

13. 已知 ${(x - \frac{2}{^{x^{2}}})}^{n}$ 的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则 ${(x - \frac{2}{^{x^{2}}})}^{n}$ 的展开式中的常数项为.

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14. 已知 $f (x)$ 为奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = x l n (- x)$ ，则曲线在点 $(e ， f (e))$ 处的切线方程为.

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15. 如图，已知 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心，且 $∠ B O C = 9 0^{0}$ ，若 $2 \sqrt{2} B C^{2} = A B \cdot A C$ ，则角 $A$ 的大小为.

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16. 过抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 的焦点 $F$ 作直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点，线段 $A B$ 的垂直平分线交 $y$ 轴于 $D$ ，点 $P$ 为 $∠ D F B$ 的平分线上任意一点，记 $△ P D F$ 与 $△ P A B$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$ ．

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $c = 2$ ， $a c o s C + \sqrt{3} a s i n C = b + 2$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $B C$ 边上的中线 $A M$ 为 $\sqrt{3}$ ，求 $b$ .

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18. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ，$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $2 a_{n} - \sqrt{S_{n}} = \sqrt{S_{n - 1}} (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $4 a_{n} - 1 = \frac{b_{1}}{2 + 1} + \frac{b_{2}}{2^{2} + 1} + ⋯ + \frac{b_{n}}{2^{n} + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 根据我国国家统计局的数据显示，2020年12月份，中国制造业采购经理指数（PMI）为50.3%，比上月上升0.2个百分点.以新能源汽车、机器人、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业为评估某设备

M

生产某种零件的性能，从设备

M

生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

直径/mm	58	59	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	73	合计
件数	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100

经计算， $μ = 65 ， σ = 2.2$ ，以频率值作为概率的估计值，解决以下问题：

(1)、为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为

X

，并根据以下不等式进行评判（

p

表示相应事件的频率）：①

p (μ - σ < X \leq μ + σ) \geq 0.6826

；②

p (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \geq 0.9544

；③

p (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \geq 0.9974

．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足①②，不满足③，则等级为乙；若仅满足①，不满足②③，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级；

(2)、将直径小于等于

μ - 2 σ

或直径大于

μ + 2 σ

的零件认为是次品，

①从设备 $M$ 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数 $Y$ 的数学期望 $E (Y)$ ；

②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数 $Z$ 的分布列和数学期望 $E (Z)$ ．

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20. 已知矩形纸片 $A B C D$ 满足 $A B = 2$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$ ， $M$ 为 $A C$ 中点，将该纸片沿对角线 $A C$ 折成空间四边形 $A B C D_{1}$ ，使得二面角 $D_{1} - A C - B$ 的大小为 $θ$ .

(1)、求三棱锥 $A - B M D_{1}$ 体积的最大值；

(2)、若 $θ = 60 °$ ，求直线 $A D_{1}$ 与平面 $B C D_{1}$ 所成角的正弦值.

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21. 若 $f (x) = k e^{x}$ ，且直线 $y = e x$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切.

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、证明：当 $a \in [1 ， 2]$ ，不等式 $2 f (x) + a s i n x - 2 \geq x^{2} + 3 x$ 对于 $\forall x \in [0 ， + \infty)$ 恒成立.

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22. 如图，已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，点 $B (1 ， 0)$ ，以线段 $A B$ 为直径的圆内切于圆O，点 $A$ 的集合记为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l ： x = 4$ ， $Q (1 ， \frac{3}{2})$ ，过点 $B$ 的直线 $l_{1}$ 与 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，与直线 $l$ 交于点 $K$ ，记 $Q M ， Q N ， Q K$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2} ， k_{3}$ ，问： $\frac{k_{1} - k_{2}}{k_{2} - k_{3}}$ 是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由.

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