广东省江门市2022届高三下学期数学3月高考模拟试卷

试卷更新日期：2022-03-22 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，设集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 \leq 0}$ ， $B = {x | x - 1 < 0}$ ，则 $A ∪ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${x | 1 \leq x \leq 3}$ B、 ${x | - 2 \leq x < - 1}$ C、 ${x | x \geq - 2}$ D、 ${x | x \leq 3}$

查看试题解析
2. 已知复数z的共轭复数是 $\bar{z}$ ，若 $2 \bar{z} - z = 1 - i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{30}}{3}$

查看试题解析
3. 已知a， $b \in R$ ，则“ $a b \geq 1$ ”是“ $a^{2} + b^{2} \geq 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 第24届冬奥会于2022年2月4日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.此届冬奥会的项目中有两大项是滑雪和滑冰，其中滑雪有6个分项，分别是高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和北欧两项，滑冰有3个分项，分别是短道速滑、速度滑冰和花样滑冰.甲和乙相约去观看比赛，他们约定每人观看两个分项，而且这两个分项要属于不同大项.若要求他们观看的分项最多只有一个相同，则不同的方案种数是（）

A、324 B、306 C、243 D、162

查看试题解析
5. 已知 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 = 120 °$ ，则 $| 2 \vec{a} - 3 \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{13}$ D、4

查看试题解析
6. 设 $f (x)$ 为偶函数，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时 $f (x) = x - 1$ ，则使 $f (x) > 0$ 的x取值范围是（）

A、 ${x | x > 1}$ B、 ${x | - 1 < x < 0}$ C、 ${x | x < - 1$ 或 $x > 1}$ D、 ${x | - 1 < x < 0$ 或 $x > 1}$

查看试题解析
7. “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：任意一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩.若将22拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为素数的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{3}{11}$ D、 $\frac{5}{21}$

查看试题解析
8. 已知 $M$ 是圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上一个动点，且直线 $l_{1} ： m x - n y - 3 m + n = 0$ 与直线 $l_{2} ： n x + m y - 3 m - n = 0 (m ， n \in R ， m^{2} + n^{2} \neq 0)$ 相交于点P，则 $| P M |$ 的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{3} - 1 ， 2 \sqrt{3} + 1]$ B、 $[\sqrt{2} - 1 ， 3 \sqrt{2} + 1]$ C、 $[\sqrt{2} - 1 ， 2 \sqrt{2} + 1]$ D、 $[\sqrt{2} - 1 ， 3 \sqrt{3} + 1]$

查看试题解析

二、多选题

9. 下列函数中，最小正周期为 $π$ ，且在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增的是（）

A、 $y = \sin 2 x$ B、 $y = \tan x$ C、 $y = | \sin x |$ D、 $y = | \tan x |$

查看试题解析
10. 如图，三棱锥 $D - A B C$ 中， $∠ C A B = ∠ D A B = ∠ D A C = 60 °$ ， $A C = A B = 1$ ， $A D = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A D ⊥ B C$ B、平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ C、三棱锥 $D - A B C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、以 $A B$ 为直径的球被平面 $A C D$ 所截得的圆在 $△ A C D$ 内的弧的长度为 $\frac{\sqrt{6} π}{18}$

查看试题解析
11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} = - n^{2} + 33 n (n \in N^{*})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 ${a_{n}}$ 是递增数列 B、 $a_{n} = - 2 n + 34$ C、当 $n = 16$ ，或17时， $S_{n}$ 取得最大值 D、 $| a_{1} | + | a_{2} | + \cdot \cdot \cdot + | a_{30} | = 452$

查看试题解析
12. 在平面直角坐标系中，对任意角 $α$ ，设 $α$ 的终边上异于原点的任意一点 $P (x ， y)$ ，它与原点的距离是r.我们规定：比值 $\frac{r}{x}$ 、 $\frac{r}{y}$ 、 $\frac{x}{y}$ 分别叫做角 $α$ 的正割、余割、余切，分别记作 $s e c α$ 、 $c s c α$ 、 $c o t α$ ，把 $y = s e c x$ 、 $y = c s c x$ 、 $y = c o t x$ 分别叫做正割函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的是（）

A、 $c o s α + s e c α \geq 2$ B、 $y = s e c x$ 的定义域为 ${x | x \neq k π ， k \in Z}$ C、 $c o t 2 α = \frac{c o t^{2} α - 1}{2 c o t α}$ D、 $(s e c α + c o s α)^{2} + (c s c α + s i n α)^{2} \geq 9$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知 $t a n (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{2 s i n α - c o s α}{s i n α + 3 c o s α} =$ .

查看试题解析
14. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $B A_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C D$ 所成的角是．

查看试题解析
15. 已知椭圆长轴 $A B$ 的长为4，N为椭圆上一点，满足 $| N A | = 1$ ， $∠ N A B = 60 °$ ，则椭圆的离心率为.

查看试题解析

四、解答题

16. 若函数 $g (x)$ 为定义在R上的奇函数， $g^{'} (x)$ 为 $g (x)$ 的导函数，当 $x \leq 0$ 时， $g^{^{'}} (x) < 2 x$ ，则不等式 $g (x) > x^{2}$ 的解集为.

查看试题解析
17. 已知数列 ${a_{n}}$ 中，满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1 (n \in N_{+})$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n} + 1}$ 为等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

查看试题解析
18. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 $(a + b) (s i n A - s i n B) = (a - c) s i n C$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3}$ ，求 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
19. 如图，在正四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A C ∩ B D = O$ ， $S A = \sqrt{2} A B$ ， P在侧棱 $S D$ 上， $S D ⊥$ 平面 $P A C$ .

(1)、求平面 $S A B$ 与平面 $P A C$ 所成的锐二面角的余弦值；

(2)、侧棱 $S C$ 上是否存在一点E，使得 $B E / /$ 平面 $P A C$ ?若存在，求 $S E ： E C$ 的值；若不存在，请说明理由.

查看试题解析
20. 浙江省东魁杨梅是现在世界上最大果形的杨梅，有“乒乓杨梅”、“杨梅之皇”的美誉.东魁杨梅始于浙江黄岩区江口街道东岙村一棵树龄约120多年的野杨梅树，经过东岙村和白龙岙村村民不断改良，形成了今天东魁杨梅的品种.栽培东魁杨梅一举多得，对开发山区资源，绿化荒山，保持水土，增加山区经济收入具有积极意义.根据多年的经验，可以认为东魁杨梅果实的果径 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ （单位：mm），但因气候、施肥和技术的不同，每年的 $μ$ 和 $σ$ 都有些变化.现某农场为了了解今年的果实情况，从摘下的杨梅果实中随机取出1000颗，并测量这1000颗果实的果径，得到如下频率分布直方图.
参考数据： $36.2 \times 0.2 + 36.4 \times 0.25 + 36.6 \times 0.7 + 36.8 \times 0.8 + 37 \times 1.1 + 37.2 \times 0.8 +$ $37.4 \times 0.65 + 37.6 \times 0.4 + 37.8 \times 0.05 + 38 \times 0.05 = 185$ ； $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) = 0.6826$ ； $P (μ - 2 σ ≤ X ≤ μ + 2 σ) = 0.9544$ ； $P (μ - 3 σ ≤ X ≤ μ + 3 σ) = 0.9974$ ； $0.954 4^{19} \approx 0.412$ ； $0.954 4^{20} \approx 0.393$ .

(1)、用频率分布直方图估计样本的平均数 $\bar{x}$ 近似代替 $μ$ ，标准差s近似代替 $σ$ ，已知 $s = 0.3$ .根据以往经验，把果径与 $μ$ 的差的绝对值在 $2 σ$ 内的果实称为“标准果”.现从农场中摘取20颗果，请问这20颗果恰好有一颗不是“标准果”的概率；（结果精确到0.01）

(2)、随着直播带货的发展，该农场也及时跟进.网络销售在大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.现该农场有一款“ $9 A 20$ ”的主打产品，该产品按盒销售，每盒20颗，售价80元，客户在收到货时如果有坏果，每一个坏果该农场要赔付4元.根据收集到的数据，知若采用 $A$ 款包装盒，成本 $a (1 \leq a \leq 5)$ 元，且每盒出现坏果个数 $ξ$ 满足 $P (ξ = i) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{t} ， i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 \\ \frac{1}{16} ， i = 0 \\ 0 ， i = 5 ， 6 ， \cdot \cdot \cdot ， 20 \end{array}$ ，若采用 $B$ 款包装盒，成本 $\frac{8 a}{7}$ 元，且每盒出现坏果个数 $η$ 满足 $P (η = i) = {\begin{array}{l} m {(\frac{1}{2})}^{t} ， i = 1 ， 2 ， 3 \\ 0 ， i = 0 ， 4 ， 5 ， 6 ， \cdot \cdot \cdot ， 20 \end{array}$ ，（ $m$ 为常数），请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装盒可以获得更大利润?

查看试题解析
21. 已知抛物线 $T ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，点 $F$ 为其焦点， $P$ 为 $T$ 上的动点， $Q$ 为 $P$ 在动直线 $x = t (t < 0)$ 上的投影.当 $△ P Q F$ 为等边三角形时，其面积为 $16 \sqrt{3}$ .

(1)、求抛物线 $T$ 的方程；

(2)、过 $x$ 轴上一动点 $E (a ， 0) (a > 0)$ 作互相垂直的两条直线，与抛物线 $T$ 分别相交于点A，B和C，D，点H，K分别为 $A B$ ， $C D$ 的中点，求 $△ E H K$ 面积的最小值.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = l n x$ ， $g (x) = a x + \frac{2}{x} - 5$ .

(1)、证明： $f (x) < \sqrt{x}$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象与 $g (x)$ 的图象有两个不同的公共点，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析