广东省2022届高三下学期数学3月大联考试卷

试卷更新日期：2022-03-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若 $z = \frac{i^{2}}{1 + i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$

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2. 下列四组集合中，满足 $M ∪ N = {x | - 1 \leq x \leq 8}$ 的是（）

A、 $M = {x | - 1 \leq x < 9} ， N = {x | - 2 \leq x \leq 8}$ B、 $M = {x | - 1 \leq x \leq 9} ， N = {x | 0 \leq x < 8}$ C、 $M = {x | 1 < x \leq 8} ， N = {x | - 1 \leq x \leq 4}$ D、 $M = {x | - 1 \leq x < 1} ， N = {x | 1 < x \leq 8}$

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3. 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.小林观看了本届冬奥会后，打算从冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项这四个项目中任意选两项进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 设P为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上一点， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是C的左，右焦点．若 $| P F_{1} | - | P F_{2} | = 1$ ，则 $| P F_{1} | =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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5. 在四边形ABCD中， $A B = \sqrt{3} A D$ ， $\vec{A B} = \vec{D C}$ ，且 $| \vec{A B} + \vec{A D} | = | \vec{A B} - \vec{A D} |$ ，则 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C A}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 吹气球时，气球的体积 $V$ （单位： $L$ ）与半径 $r$ （单位： $d m$ ）之间的关系是 $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ ．当 $V = \frac{4 π}{3} L$ 时，气球的瞬时膨胀率为（）

A、 $\frac{1}{4 π} d m / L$ B、 $\frac{1}{3} d m / L$ C、 $3 L / d m$ D、 $4 π L / d m$

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7. 若定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) + f (1 - x) = 6$ ，则 $f (4) =$ （）

A、-6 B、6 C、-12 D、12

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8. 东方明珠广播电视塔是上海的标志性文化景观之一，塔高约468米，上球体的直径为45米，且上球体的球心O到塔底的距离与塔高的比值为黄金分割比(约为0.618)．若P为上球体球面上一点，且 $P O$ 与地平面(塔顶与O的连线垂直地平面)所成的角为 $30 °$ ， P在上球体的上半部分，则P到地平面的距离约为（）

A、297米 B、300米 C、303米 D、306米

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二、多选题

9. 已知几何体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是正方体，则下列判断错误的是（）

A、 $A D ∕ ∕$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ B、在直线 $B B_{1}$ 上存在一点E，使得 $A E ⊥ C D$ C、 $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ D、在直线 $D D_{1}$ 上存在一点E，使得 $C E ∕ ∕$ 平面 $A_{1} B C_{1}$

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10. 若函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $(0 ， \frac{1}{2})$ 内存在唯一的 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = - 1$ ，则 $ω$ 的值可能是（）

A、 $\frac{7 π}{3}$ B、 $\frac{10 π}{3}$ C、4π D、 $\frac{19 π}{3}$

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11. 设 $a = l o g_{2} 3$ ， $b = l o g_{9} 5$ ， $c = l o g_{8} 65$ ，则（）

A、 $2 < a + \frac{1}{a} < \frac{13}{6}$ B、 $b < c l o g_{80} 5$ C、 $2 a + 4 b > 4 \sqrt{2}$ D、 $11 a > 9 c$

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，直线 $x = 2 a$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的上方）， $\vec{D A} = \vec{A B}$ ，点 $E$ 在 $y$ 轴上，且 $E A / / x$ 轴.若 $△ B D E$ 的内心到 $y$ 轴的距离不小于 $\frac{4 a}{3}$ ，则 $C$ 的离心率可以为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{39}}{6}$

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三、填空题

13. 3月12日是植树节，某地区有375人参与植树，植树的树种及数量的折线图如图所示.植树后，该地区农业局根据树种用分层抽样的方法抽取75棵树，请专业人士查看植树的情况，则被抽取的柳树的棵数为.

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14. ${(\sqrt[4]{2} - \frac{\sqrt{3}}{x})}^{6}$ 的展开式中系数为有理数的各项系数之和为.

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15. 已知A，B是曲线 $| x | - 1 = \sqrt{4 - (y - 1)^{2}}$ 上两个不同的点， $C (0 ， 1)$ ，则 $| C A | + | C B |$ 的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = t a n 2 x + 2 t a n (π - x) - 1$ ．若 $t a n α = 2$ ，则 $f (α) =$ ；若 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4})$ ，则 $f (x)$ 零点的个数为．

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四、解答题

17. 设 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，已知 $A = \frac{π}{6}$ .

(1)、若 $a = 5 b s i n B$ ，求 $c o s B$ ；

(2)、在① $b^{2} + 4 c^{2} = 16$ ， ② $a = 2 c o s A$ 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中.
问题：若_________，求 $△ A B C$ 面积的最大值.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 已知数列 ${a_{n} - 2^{n}}$ 的前n项和为 $n^{2} - 2^{n + 1} + 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} \cdot 2^{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图， $A B ⊥$ 平面 $A D E$ ， $A D ⊥$ 平面 $A B E$ ， $C F ∥ A E$ ， $C F < A E$ ，且 $E ， F$ 均在平面 $A B C D$ 的同侧．

(1)、证明：平面 $C D F ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(2)、若四边形 $A B C D$ 为梯形， $B C ∥ A D ， A D = 3 ， A B = B C = A E = 2$ ，且异面直线 $B E$ 与 $D F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求四棱锥 $F - A B C D$ 的体积．

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20. 某夜市街上有“十元套圈”小游戏，游戏规则为每个顾客支付十元便可获得3个套圈，顾客使用套圈所套得的奖品，即归顾客所有．奖品分别摆放在1，2，3三个相互间隔的区域中，且1，2，3三个区域的奖品价值分别为5元，15元，20元，每个套圈只能使用一次，每次至多能套中一个．小张付十元参与这个游戏，假设他每次在1，2，3三个区域套中奖品的概率分别为0.6，0.2，0.1，且每次的结果互不影响．

(1)、求小张分别在1，2，3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率．

(2)、若分别在1，2，3三个区域各套一次为方案甲，所获奖品的总价值为X元；在2区域连套三次为方案乙，所获奖品的总价值为Y元．以三次所套奖品总价值的数学期望为依据，小张应该选择方案甲还是方案乙？

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21. 已知直线 $y = 3$ 与曲线 $C ： x^{2} + 2 p y = 0$ 的两个公共点之间的距离为 $4 \sqrt{6}$ ．

(1)、求C的方程．

(2)、设P为C的准线上一点，过P作C的两条切线，切点为A，B，直线 $P A ， P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且直线 $P A ， P B$ 与y轴分别交于M，N两点，直线 $A B$ 的斜率为 $k_{0}$ ．证明： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值，且 $k_{1} ， k_{0} ， k_{2}$ 成等差数列．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{4} - a l n x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > - 1$ 时， $f (2^{x + 1}) > 1$ 恒成立，求a的取值范围．

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