山西省临汾市翼城县2020-2021学年七年级下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2022-03-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列方程中是一元一次方程的是（）

A、 $\frac{2}{x} - 1 = 0$ B、 $x^{2} = 2$ C、 $2 x + y = 1$ D、 $x - 3 = \frac{1}{2}$

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2. 下列各项中，蕴含不等关系的是（）

A、老师的年龄是你的年龄的2倍 B、小丽和小华一样高 C、明天可能下雨 D、 $a^{2}$ 是非负数

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3. 解方程 $3 - 5 (x + 2) = x$ ，去括号正确的是（）

A、 $3 - x + 2 = x$ B、 $3 - 5 x - 10 = x$ C、 $3 - 5 x + 10 = x$ D、 $3 - x - 2 = x$

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4. 某商品涨价30%后欲恢复原价，则必须下降的百分数约为（　　）

A、20% B、21% C、22% D、23%

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5. 已知m＜n，下列不等式成立的是（）

A、 $a m < a n$ B、 $- 2 m < - 2 n$ C、 $\frac{m}{x^{2} + 1} < \frac{n}{x^{2} + 1}$ D、 $m^{2} < m n$

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6. 如果 ${\begin{array}{l} x = a \\ y = b \end{array}$ 是方程 $x - 3 y = 3$ 的一组解，那么代数式 $5 - a + 3 b$ 的值是（）

A、8 B、5 C、2 D、0

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7. 三元一次方程组 ${\begin{array}{l} a - b + c = 0 \\ 4 a + 2 b + c = 3 \\ 2 a + b - 3 c = 19 \end{array}$ 消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 a - 2 b = 19 \\ a + b = 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 3 a + b = 3 \\ 2 a + b = 4 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} a + b = 1 \\ 2 a + b = 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} a + b = 1 \\ 3 a - 2 c = 19 \end{array}$

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8. 小明在某月的日历上圈出了三个数a、b、c，并求出了它们的和为39，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} \frac{x}{3} = y + 2 \\ \frac{x}{2} + 9 = y \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} \frac{x}{3} = y - 2 \\ \frac{x - 9}{2} = y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} \frac{x}{3} = y + 2 \\ \frac{x - 9}{2} = y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} \frac{x}{3} = y - 2 \\ \frac{x}{2} - 9 = y \end{array}$

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10. 已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + 3 y = 4 - a \\ x - y = 3 a \end{array}$ ，给出下列结论中正确的是（）
①当这个方程组的解 $x$ ， $y$ 的值互为相反数时， $a = - 2$ ；
②当 $a = 1$ 时，方程组的解也是方程 $x + y = 4 + 2 a$ 的解；
③无论 $a$ 取什么实数， $x + 2 y$ 的值始终不变；
④若用 $x$ 表示 $y$ ，则 $y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$ ；

A、①② B、②③ C、②③④ D、①③④

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二、填空题

11. 已知方程 $2 x - 3 y = 6$ ，用含x的式子表示y，则．

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12. 若 $\frac{2}{3} x^{a - 1} y^{b}$ 与 $\frac{1}{2} x^{3 - a} y^{3 - 2 b}$ 的是同类项，则 $b^{a} =$ ．

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13. 根据如图所示，用不等式表示公共部分 $x$ 的范围．

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14. 2020年5月11日习总书记到山西大同云州区视察了有机黄花标准化种植基地，他指出要保护好、发展好这个产业，让黄花成为群众脱贫致富的“摇钱草”．黄花又名萱草、金针菜、忘忧草，是一种营养价值很高的蔬菜，从明朝开始，大同就享有“黄花之乡”的盛名，原价为70元/千克的黄花菜，每天可售出30千克，在试销时发现，售价每降

x %

，售出的黄花菜增加

2 x %

，现在每天销售这种黄花菜的总售价为2268元．根据题意，可列方程为：．

黄花菜喜光耐旱地，但花期需水量大，若遇干旱花蕾易脱落．其地上部分不耐寒，开花期要求较高温度， $20 - 25 ℃$ 较为适宜．黄花菜对地形要求不高，地壤忌过湿或积水

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15. 学校在“学党史、讲党史、感党恩”活动中，计划用750元购进《中国共产党简史》和《四史专题讲座》两书，《中国共产党简史》每本35元，《四史专题讲座》每本30元，有种购书方案．

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16. 如图，在数轴上，点A，B分别表示-15，9，点P，Q分别从点A，B同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位，点Q的速度是每秒1个单位，运动时间为t秒．在运动过程中，当点P，点Q和原点O这三点中的一点恰好是另外两点为端点的线段的中点时，t的值是．

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三、解答题

17. 解方程

(1)、 $\frac{x + 1}{2} - \frac{x - 3}{3} = 1$

(2)、 ${\begin{array}{l} 3 x - 5 y = 2 \\ 12 x - 25 y = - 2 \end{array}$

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18. 小明、小丽两位同学在学习过程中遇到这样一个问题；二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 2 k + 3 ① \\ 3 x + 2 y = k - 2 ② \end{array}$ 的解满足 $x + y = 2$ ，求x、y、k的值．
解①+②得
$5 x + 5 y = 3 k + 1$
$5 (x + y) = 3 k + 1$ ③
将 $x + y = 2$ 代入③得 $3 k + 1 = 10$
解这个方程得： $k = 3$ …
小明小丽
可称先消去k

(1)、请你接着完成小明的过程；

(2)、请你按照小丽同学的思路完成本题．

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19. 已知关于x的不等式 $(a - 1) x > 5$ ，两边同除以 $a - 1$ ，得 $x < \frac{5}{a - 1}$ ，试化简： $| a - 1 | - | 2 - a |$ ．

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20. 甲、乙两人共同解方程组 ${\begin{array}{l} a x + 5 y = 15 ① \\ 4 x - b y = - 2 ② \end{array}$ ，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为 ${\begin{array}{l} x = - 3 \\ y = - 1 \end{array}$ ，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 ${\begin{array}{l} x = 5 \\ y = 4 \end{array}$ ，试计算 $a^{2021} + {(- \frac{b}{10})}^{2022}$ 的值．

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21. 我们称使方程 $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = \frac{x + y}{2 + 3}$ 成立的一对数x，y为“相伴数对”，记为 $(x ， y)$ ．

(1)、若 $(6 ， y)$ 是“相伴数对”，求y的值；

(2)、若 $(p ， q)$ 是“相伴数对”，请用含q的代数式表示p；

(3)、若 $(a ， b)$ 是“相伴数对”，求代数式 $a - \frac{22}{3} b - [4 a - 2 (3 b - 1)]$ 的值．

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22. 阅读下面材料，完成填空．
你能比较两个数 $202 0^{2021}$ 和 $202 1^{2020}$ 的大小吗？
为了解决这个问题，先把问题一般化，既比较 $n^{n + 1}$ 和 ${(n + 1)}^{n}$ 的大小（ $n \geq 1$ ，且n为整数）．然后从分析 $n = 1 ， n = 2 ， n = 3$ ， …这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．

(1)、通过计算，比较下列①、②、③、④各组两个数的大小（在横线上填>、=、<号）
① $1^{2}$ $2^{1}$ ；② $2^{3}$ $3^{2}$ ；③ $3^{4}$ $4^{3}$ ；④ $4^{5}$ $5^{4}$ ；⑤ $5^{6} > 6^{5}$ ；⑥ $6^{7} > 7^{6}$ ；⑦ $7^{8} > 8^{7}$ ；…

(2)、从第（1）小题的结果经过归纳，可以猜想出 $n^{n + 1}$ 和 ${(n + 1)}^{n}$ 的大小关系．

(3)、根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到 $202 0^{2021}$ $202 1^{2020}$ （填>、=、<号）．

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23. 聪聪与明明分别要把两块边长都为 $60 c m$ 的正方形薄钢片要制作成两个无盖的长方体盒子（不计粘合部分）．

(1)、聪聪先在薄钢片四个角截去边长为 $10 c m$ 的四个相同的小正方形（如图①），然后把四边折合粘在一起，便得到甲种盒子，请你帮忙求出该种盒子底面边长；

(2)、明明截去两角后（如图②），沿虚线折合粘在一起，便得到乙种盒子（如图③），已知乙种盒子底面的长 $A B$ 是宽 $B C$ 的2倍，求乙种盒子底面的长与宽分别是多少？

(3)、若把乙种盒子装满水后，倒入甲种盒子内，问是否可以装满甲种盒子，若能装满甲种盒子，那么乙种盒子里的水面有多高？若不能装满甲种盒子，求出此甲种盒子的水面的高度．

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24. 有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足 $3 x - y = 5$ ①， $2 x + 3 y = 7$ ②，求 $x - 4 y$ 和 $7 x + 5 y$ 的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得 $x - 4 y = - 2$ ，由①+②×2可得 $7 x + 5 y = 19$ ．这样的解题思想就是通常所说的整体思想．
解决问题：

(1)、已知二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 4 x + 5 y = 27 \\ 5 x + 4 y = 18 \end{array}$ ，则 $x - y =$ ， $x + y =$ ；

(2)、“战疫情，我们在一起”，爱心公社计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元，若该公益组织实际捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，则购买这批防疫物资共需多少元？

(3)、对于实数x，y，定义新运算： $x * y = a x - b y + c$ ，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知 $3 * 5 = 15 ， 4 * 7 = 2$ ，那么求 $1 * 1$ 的值．

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