山西省晋中市左权县2020-2021学年七年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-03-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $∠ α$ 的余角是 $20 °$ ，则 $∠ α$ 等于（）

A、 $20 °$ B、 $60 °$ C、 $70 °$ D、 $160 °$

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2. 计算 $a^{3} \cdot (- a)$ 的结果是（）

A、 $a^{3}$ B、 $- a^{3}$ C、 $a^{4}$ D、 $- a^{4}$

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3. 如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. “十三五”期间，全省累计造林153.82万公顷，超额完成预定任务，森林火灾受害率控制在0.5‰以下．其中数据0.5‰用科学记数法表示为（）

A、 $5 \times 1 0^{- 3}$ B、 $5 \times 1 0^{- 4}$ C、 $5 \times 1 0^{- 5}$ D、 $0.5 \times 1 0^{- 3}$

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5. 网购一种图书，每册定价40元，另加书价的4%作为快递费，若购书x册，则付款y（元）与x（册）之间的关系式为（）

A、 $y = 40 x + 4 % x$ B、 $y = 40.04 x$ C、 $y = 40 (1 + 4 %) x$ D、 $y = 39.96 x$

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6. 化简（a－1）（a＋1）（a²＋1）－（a⁴－1）的结果为（）

A、0 B、2 C、－2 D、2a⁴

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7. 如图，已知 $A B / / D E ， ∠ 1 = 35 ° ， ∠ 2 = 40 °$ ，则 $∠ A C D$ 的度数为（）

A、 $65 °$ B、 $75 °$ C、 $55 °$ D、 $35 °$

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8. 若 $(x + 1) (2 x^{2} - a x + 1)$ 的运算结果中， $x^{2}$ 的系数为 $- 6$ ，则a的值是（）

A、8 B、 $- 8$ C、4 D、 $- 4$

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9. 如图所示的是一辆汽车行驶的速度（千米/时）与时间（分）之间的变化图，下列说法正确的是（）

A、时间是因变量，速度是自变量 B、汽车在1～3分钟时，匀速运动 C、汽车最快的速度是30千米/时 D、汽车在3～8分钟静止不动

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10. 如图，下列推理及括号中所注明的推理依据不正确的是（）

A、 $∵ ∠ 1 = ∠ 3$ $∴ A B / / C D$ （内错角相等，两直线平行） B、 $∵ A D / / B C$ $∴ ∠ 2 = ∠ 4$ （两直线平行，内错角相等） C、 $∵ ∠ B A D + ∠ A B C = 180 °$ $∴ A D / / B C$ （同旁内角互补，两直线平行） D、 $∵ ∠ D A M = ∠ C B M$ $∴ A D / / B C$ （两直线平行，同位角相等）

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二、填空题

11. 如图，现要从村庄A修建一条连接公路PQ的最短小路，过点A作AH⊥PQ于点H，沿AH修建公路，则这样做的理由是

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12. 下面的表格列出了一个实验室的部分统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度x与下降高度y的关系：
y
50
80
100
150
x
25
40
50
75
根据表格中两个变量之间的关系，则当 $x = 120$ 时， $y =$ ．

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13. 若 $2^{m} = a ， 4^{n} = b$ ，m、n为正整数，则 $2^{3 m + 4 n} =$ ．（用含a、b的代数式表示）

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14. 已知 $∠ 2$ 是钝角， $∠ 1$ 的两边与 $∠ 2$ 的两边分别平行， $∠ 1 = 35 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为．

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15. 新定义运算： $a ※ b = a (a - b)$ ，例如 $5 ※ 3 = 5 \times (5 - 3) = 10$ ．有以下结论：① $2 x ※ x = 2 x^{2}$ ；② $(3 - 5 x) ※ (6 - 5 x) = 15 x - 9$ ；③ $(a ※ b) 一 (b ※ a) = b^{2} - a^{2}$ ；④若 $a = b$ ，则 $(a ※ b) ※ b = 0$ ．其中正确的结论有（填序号）．

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三、解答题

16.

(1)、计算： ${(x^{5})}^{3} \div {(- x^{4})}^{2} - {(\frac{1}{2} x^{3})}^{2} \cdot 2 x$ ．

(2)、如图，已知直线 $A B$ 和 $C D$ 相交于点O， $O E ⊥ C D$ ， $O F$ 平分 $∠ A O E$ ， $∠ C O F = 34 °$ ．求 $∠ A O D$ 的度数．

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17. 先化简，再求值： $(x + 1)^{2} - 2 (x - 1) (x + 4)$ ，其中 $x = - 1$ ．

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18. 文具店出售书包和文具盒，书包每个定价为30元，文具盒每个定价为5元．该店制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折（总价的90%）付款．某班学生需购买8个书包、若干个文具盒（不少于8个），设文具盒个数为x（个）．

(1)、当 $x = 10$ 时，若该班学生按方案①购买，需付款元，若该班学生按方案②购买，需付款元．

(2)、设付款数为y（元），分别求出两种优惠方案中y与x之间的关系式．

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19. 阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由．已知：如图，点D，E分别在线段 $A B ， B C$ 上， $A C / / D E ， A E$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点E， $D F$ 平分 $∠ B D E$ 交 $B C$ 于F．试说明 $D F / / A E$ ．
解：因为 $A E$ 平分 $∠ B A C$ （已知），
所以 $∠ 1 = ∠ 2 = \frac{1}{2}$                   ▲                  （                  ▲                  ）．
因为 $D F$ 平分 $∠ B D E$ （已知），
所以 $∠ 3 = ∠ 4 = \frac{1}{2}$                   ▲                  （角平分线的定义）．
因为 $A C / / D E$ （已知），
所以 $∠ B D E = ∠ B A C$ （                  ▲                  ），
所以                  ▲                   ．（等量代换），
所以 $D F / / A E$ （                  ▲                  ）．

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20. 如图，一块大的三角形 $A B C$ 广告牌，D是 $A B$ 上一点，现要求过点D设计出一块小的三角形 $A D E$ ，使 $∠ A D E = ∠ A B C$ ．

(1)、请用尺规作出 $∠ A D E$ ．（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、若 $∠ A = 65 ° ， ∠ B = 35 °$ ，求 $∠ D E C$ 的度数．

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21. 如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地， $O A$ 与 $B C$ 分别表示自行车、摩托车与甲地距离 $s$ （千米）和自行车出发时间 $t$ （小时）的关系.根据图象回答：

(1)、摩托车每小时行驶千米，自行车每小时行驶千米；

(2)、自行车出发后小时，两车相遇；

(3)、求摩托车出发多少小时时，两车相距15千米？

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22. [探究]如图①所示， $∠ A F H$ 和 $∠ C H F$ 的平分线交于点 $O$ ， $E G$ 经过点 $O$ 且平行于 $F H$ ，分别与 $A B$ 、 $C D$ 交于点 $E$ 、 $G$ ．

(1)、若 $∠ A F H = 60 °$ ， $∠ C H F = 50 °$ ，则 $∠ E O F =$ $°$ ， $∠ F O H =$ $°$ ；

(2)、若 $∠ A F H + ∠ C H F = 100 °$ ，求 $∠ F O H$ 的度数．
[拓展]如图②所示， $∠ A F H$ 和 $∠ C H I$ 的平分线交于点 $O$ ， $E G$ 经过点 $O$ 且平行于 $F H$ ，分别与 $A B$ 、 $C D$ 交于点 $E$ 、 $G$ ．若 $∠ A F H + ∠ C H F = α$ ，直接写出 $∠ F O H$ 的度数．（用含 $α$ 的代数式表示）

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23. 综合与探究

(1)、【阅读理解】在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为 $x$ 的正方形，乙种纸片是边长为 $y$ 的正方形，丙种纸片是长为 $y$ ，宽为 $x$ 的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：②利用①中的等式解决问题：若 $x + y = 8$ ， $x^{2} + y^{2} = 40$ ，则 $x y$ 的值为．

(2)、【拓展探究】若 $x$ 满足 $(20 - x) (x - 30) = 10$ ，求 ${(20 - x)}^{2} + {(x - 30)}^{2}$ 的值．
我们可以作如下解答：设 $a = 20 - x$ ， $b = x - 30$ ，
则 $(20 - x) (x - 30) = a b = 10$ ， $a + b = (20 - x) + (x - 30) = 20 - 30 = - 10$ ，
所以 ${(20 - x)}^{2} + {(x - 30)}^{2} = a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = {(- 10)}^{2} - 2 \times 10 = 80$ ．
①若 $(4 - x) x = 5$ ，则 ${(4 - x)}^{2} + x^{2} =$ ．
②若 $(4 - x) (5 - x) = 8$ ，则 ${(4 - x)}^{2} + {(5 - x)}^{2} =$ ．

(3)、【实际运用】如图3，将正方形 $E F G H$ 叠放在正方形 $A B C D$ 上，重叠部分 $L F K D$ 是一个长方形， $A L = 8$ ， $C K = 12$ ．沿着 $L D$ 、 $K D$ 所在直线将正方形 $E F G H$ 分割成四个部分，若四边形 $E L D N$ 和四边形 $D K G M$ 恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形 $N D M H$ 的面积．

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y	50	80	100	150
x	25	40	50	75