山东省烟台市莱州市2020-2021学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-03-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 关于x的方程 $a x^{2} - 3 x + 3 = 0$ 是一元二次方程，则a的取值范围是（）

A、a＞0 B、a≥0 C、a=1 D、a≠0

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2. 下列各式计算正确的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}} = 2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3} \div \sqrt{6} = \sqrt{2}$ C、 ${(\sqrt{3})}^{2} = 3$ D、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$

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3. 关于 $x$ 的方程 ${(x + m)}^{2} = n$ ，下列说法正确的是（）

A、有两个解 $x = \pm \sqrt{n}$ B、当 $n > 0$ ，有两个解 $x = \pm \sqrt{n} - m$ C、当 $m > 0$ ，有两个解 $x = \pm \sqrt{n - m}$ D、当 $n = 0$ 时，方程无实数根

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4. 在将式子 $\frac{m}{\sqrt{m}}$ （m＞0）化简时，
小明的方法是： $\frac{m}{\sqrt{m}}$ = $\frac{m^{} \sqrt{m}}{\sqrt{m} \cdot \sqrt{m}}$ = $\frac{m \sqrt{m}}{m}$ = $\sqrt{m}$ ；
小亮的方法是： $\frac{m}{\sqrt{m}} = \frac{{(\sqrt{m})}^{2}}{\sqrt{m}} = \sqrt{m}$ ；
小丽的方法是： $\frac{m}{\sqrt{m}} = \frac{\sqrt{m^{2}}}{\sqrt{m}} = \sqrt{\frac{m^{2}}{m}} = \sqrt{m}$ .
则下列说法正确的是（　　）

A、小明、小亮的方法正确，小丽的方法错误 B、小明、小丽的方法正确，小亮的方法错误 C、小明、小亮、小丽的方法都正确 D、小明、小丽、小亮的方法都错误

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5. 小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（　　）

A、①，② B、①，④ C、③，④ D、②，③

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6. 下列一元二次方程最适合用分解因式来解的是（）

A、 $(x + 1) (x - 3) = 2$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 2 (x + 2) (x - 2)$ C、 $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ D、 $5 {(2 - x)}^{2} = 3$

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7. 将方程x²+8x+9＝0配方后，原方程可变形为（）

A、(x+4)²＝7 B、(x+4)²＝25 C、(x+4)²＝﹣9 D、(x+8)²＝7

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8. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + n x + m = 0$ 的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（）

A、 $m = 0$ ， $n = 0$ B、 $m = 0$ ， $n \neq 0$ C、 $m \neq 0$ ， $n = 0$ D、 $m \neq 0$ ， $n \neq 0$

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9. 按如图所示的运算程序，若输入数字“9”，则输出的结果是（）

A、7 B、11﹣6 $\sqrt{2}$ C、1 D、11﹣3 $\sqrt{2}$

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10. 如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ．将矩形纸片沿 $G H$ 折叠，使点B与D重合．有下列语句：①四边形 $B G D H$ 是菱形；② $A G = \frac{7}{4}$ ；③ $G H = 7.5$ ；④ $∠ B G H = 60 °$ ．其中正确的有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、填空题

11. 方程 $(x - 1) (2 x + 1) = 2$ 化成一般形式后，它的二次项系数是．

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12. 二次根式 $\sqrt{1 - a}$ 在实数范围内有意义，则a的取值范围是．

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13. 在 $\sqrt{8}$ ， $\sqrt{12}$ 中，与 $\sqrt{3}$ 是同类二次根式的是．

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14. 已知直角三角形的两条直角边恰好是方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的两个根，则此直角三角形的斜边上的中线长是．

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15. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A C$ 与 $B D$ 互相平分于点O．要使得四边形 $A B C D$ 是正方形，则还需增加一个条件是（只填一个答案即可）．

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16.
如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是（只填写序号）

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17. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交点 $O$ ， $A C = 10$ ， $P$ 、 $Q$ 分别为 $A O$ 、 $A D$ 的中点，则 $P Q$ 的长度为.

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18. 一个两位数，它的十位数字比个位数字大 $1$ ，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小 $19$ ，则这个两位数是．

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19. 已知一元二次方程有一个根是1，这个方程可以是（填上你认为正确的一个方程即可）．

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20. 已知整式 $x + 2$ 与 $x - 5$ 的积为 $x^{2} + a x + b$ ，则关于x的一元二次方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 的根是．

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三、解答题

21. 计算：

(1)、 $2 \sqrt{12} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \div 5 \sqrt{2}$

(2)、 ${(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2})}^{2}$

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22. 解方程：

(1)、 $2 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

(2)、 $5 {(x + 1)}^{2} = 7 (x + 1)$

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23. 试用配方的方法说明：代数式 $x^{2} - 6 x + 10$ 的值恒大于 $0$ ．

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24. 小明在解关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）时，只抄对了 $a = 1$ ， $b = 4$ ，解出其中一个根是 $x = - 1$ ．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．请判断原方程的根的情况．

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25. 已知如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O， $D E / / A C$ ， $A E / / B D$ ．

(1)、求证：四边形 $A O D E$ 是矩形；

(2)、若 $A B = 6$ ， $∠ B C D = 120 °$ ，求四边形 $A O D E$ 的面积．

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26. 先阅读，然后完成问题．
阅读：化简
$\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{{(\sqrt{3})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ．
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{{(\sqrt{3})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ．

(1)、完成下列问题：
① $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ 与 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ 是互为关系；
②写出 $\sqrt{100} - \sqrt{99}$ 的倒数；

(2)、比较大小并说明理由： $\sqrt{2021} - \sqrt{2020}$ 与 $\sqrt{2020} - \sqrt{2019}$ ．

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27. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点O是对角线 $A C ， B D$ 的交点，过点O作 $O E ⊥ O F$ ，分别交 $A B ， B C$ 于点 $E ， F$ ，若 $A E = 4$ ， $C F = 3$ ，求 $E F$ 的长．

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28. 如图，已知正方形 $A B C D$ ， E是 $A B$ 延长线上一点，F是 $D C$ 延长线一点，且满足 $F B = F E$ ．将线段 $F E$ 绕点F顺时针旋转 $90 °$ 得 $F G$ ．过点B作 $F G$ 的平行线，交 $D A$ 的延长线于点N，交 $E F$ 于点M，连接 $N G$ ．试猜想四边形 $B N G F$ 是什么特殊的四边形？并对你的猜想加以证明．

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