山东省威海市乳山市2020-2021学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-03-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列二次根式中，与 $\sqrt{3}$ 是同类二次根式的是（　　）

A、 $\sqrt{18}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ C、 $\sqrt{24}$ D、 $\sqrt{0.3}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{4} + \sqrt{{(- 2)}^{2}} = 0$ B、 $\sqrt{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{2}{3}} = 0$ C、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = 2$ D、 $\sqrt{6} \times \sqrt{\frac{3}{2}} = 3$

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3. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} = - x - 2 a$ 没有实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > \frac{1}{8}$ B、 $a < \frac{1}{8}$ C、 $a < - \frac{1}{8}$ D、 $a > - \frac{1}{8}$

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4. 若式子 $\frac{\sqrt{m + 2}}{{(m - 1)}^{2}}$ 有意义，则实数m的取值范围是（）

A、m＞﹣2 B、m＞﹣2且m≠1 C、m≥﹣2 D、m≥﹣2且m≠1

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5. 如图，正方形 $A B C D$ 的面积为 $2$ ，菱形 $A E C F$ 的面积为 $1$ ，则 $E$ ， $F$ 两点间的距离为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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6. 若 $| 3 x^{2} - x - 2 | + \sqrt{x^{2} + 6 x - 7} = 0$ ，则 $x =$ （）

A、1 B、 $- \frac{2}{3}$ C、-7 D、 $- \frac{2}{3}$ 或 $- 7$

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7. 对于方程 $t^{2} - 3 t - 5 = 0$ ，列表如下：
$t$
$- 3$
$- 2$
$- 1$
……
$4$
$5$
$6$
$t^{2} - 3 t - 5$
$13$
$5$
$- 1$
……
$- 1$
$5$
$13$
则t的取值范围是（）

A、 $- 3 < t < - 2$ 或 $4 < t < 5$ B、 $- 2 < t < - 1$ 或 $4 < t < 5$ C、 $- 2 < t < - 1$ 或 $5 < t < 6$ D、 $- 3 < t < - 2$ 或 $5 < t < 6$

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8. 如果a，b是一元二次方程 $x^{2} - 6 x - 2007 = 0$ 的两个实数根，那么 $a^{2} - 5 a + b =$ （）

A、 $2013$ B、 $2001$ C、 $2007$ D、 $0$

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9. 将矩形纸片 $A B C D$ 按图所示的方法进行折叠，得到等腰 $R t △ B E F$ ，若 $B C = 1$ ，则 $B F =$ （）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ C、 $2 - \sqrt{2}$ D、 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

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10. 如图，点O为矩形 $A B C D$ 的对称中心，点E从点A出发沿 $A B$ 向点B运动，到达点B处停止，延长 $E O$ 交 $C D$ 于点F，则四边形 $A E C F$ 的形状变化依次为（）

A、平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 B、平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C、平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 D、平行四边形→菱形→矩形→平行四边形

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二、多选题

11. 如图，不能判定 $▱ A B C D$ 为菱形的是（）

A、 $∠ A D B = 90 °$ B、 $O A = O B$ C、 $∠ D A B = ∠ B D C$ D、 $∠ D C A = ∠ B C A$

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12. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ，点E在边 $C D$ 上，且 $C D = 3 D E$ ．将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 对折至 $△ A F E$ ，点D落在正方形内部点F处，延长 $E F$ 交边 $B C$ 于点G，连接 $A G$ ， $C F$ ．下列结论正确的是（）

A、 $△ A B G ≌ △ A F G$ B、 $B G = G C$ C、 $∠ B A G = ∠ F C E$ D、 $S_{△ F G C} = \frac{36}{5}$

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三、填空题

13. 计算： $(- \sqrt{18}) \div \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} =$ ．

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14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点O，过点A作 $A E ⊥ B D$ ，垂足为点E，若 $∠ E A C = 2 ∠ C A D$ ，则 $∠ B A E =$ °．

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15. 若方程 $2 x^{2} - x - 4 = 0$ 的两个实数根为a，b，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$ ．

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16. 如图在菱形 $A B C D$ 中， $P$ 是对角线 $A C$ 上一动点过点 $P$ 作 $P E ⊥ B C$ 于 $E$ ． $P F ⊥ A B$ 于点 $F$ ．若菱形 $A B C D$ 的周长为 $20$ ，面积为 $24$ ，则 $P E + P F$ 的值为．

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17. 如图，P是正方形 $A B C D$ 内一点， $A P = 7$ ， $B P = 4$ ， $C P = 9$ ，则 $∠ A P B =$ °．正方形 $A B C D$ 的面积是．

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18. 已知 $\sqrt{1 2^{2} + x^{2}} - \sqrt{1 0^{2} + x^{2}} = 1$ ，则 $\sqrt{1 2^{2} + x^{2}} + \sqrt{1 0^{2} + x^{2}}$ =

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四、解答题

19. 解方程： $3 x^{2} + 10 x - 8 = 0$ ．（用十字相乘法求解）

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20. 计算： $(\sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6}) (\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6}) - \frac{2 \sqrt{3} - 6}{2 \sqrt{3}}$ ．

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21. 已知：四边形 $A B C D$ 是平行四边形，以对角线 $A C$ 为斜边作 $R t △ A C E$ ，连接 $D E$ ， $B E$ ， $∠ A E C = ∠ B E D = 90 °$ ．
求证：四边形 $A B C D$ 是矩形．

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22. 关于x的方程 $x^{2} - 2 x + k + 1 = 0$ 的两个实数根是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

(1)、求k的取值范围；

(2)、若k为整数，且满足 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} < 4$ ，求k的值．

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23. 已知： $l_{1} / / l_{2} / / l_{3} / / l_{4}$ ，点E是 $l_{1}$ 上的一点，过点 $E$ 作 $E H ⊥ l_{1}$ ，分别与 $l_{2}$ ， $l_{3}$ ， $l_{4}$ 交于点F，G，H． $E F = G H = 1$ ， $F G = 3$ ．将四边形 $A B C D$ 放在平行线中，使其四个顶点分别落在直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{4}$ ， $l_{3}$ 上．

(1)、如图1，若四边形 $A B C D$ 是正方形，且点D与G重合，则正方形 $A B C D$ 的面积为；

(2)、如图2，若四边形 $A B C D$ 是菱形，且点A与点E重合， $B D$ 的延长线过点H，求菱形 $A B C D$ 的面积．

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24. 【材料阅读】
材料一：在进行二次根式化简与运算时，有时会遇到形如 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 的式子，可以通过分母有理化进行化简或计算．如化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ ．具体方法如下：
方法一： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \sqrt{3} - 1$ ．
方法二： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$ ．
材料二：我们在学习分式时知道，对于公式 $\frac{b}{a} + \frac{c}{a} = \frac{b + c}{a}$ 可以逆用．即： $\frac{b + c}{a} = \frac{b}{a} + \frac{c}{a}$ ．
【问题解决】

(1)、化简： $\frac{3}{\sqrt{10} - \sqrt{7}} =$ ；

(2)、计算： $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} - \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}}) + \cdot \cdot \cdot + (\frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}} - \frac{1}{\sqrt{101} + \sqrt{100}})$ ；

(3)、计算： $\frac{1}{2 + \sqrt{2}} + \frac{1}{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}} + \frac{1}{4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{4}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{21 \sqrt{20} + 20 \sqrt{21}}$ ．

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25. 【源模：模型建立】
白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣
诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，从而解决距高和最短的一类问题．“将军饮马”问题的数学模型如图所示：
【新模1：模型应用】
如图1，正方形 $A B C D$ 的边长为 $3$ ，点E在边 $A B$ 上，且 $B E = 1$ ， F为对角线 $A C$ 上一动点，欲使 $△ B F E$ 周长最小．

(1)、在图中确定点F的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）；

(2)、 $△ B F E$ 周长的最小值为．

(3)、【新模2：模型变式】
如图2，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 4$ ，在矩形 $A B C D$ 内部有一动点P，满足 $S_{△ P A B} = \frac{1}{4} {S_{矩形}}_{A B C D}$ ，则点P到A，B两点的距离和 $P A + P B$ 的最小值为．

(4)、【超模：模型拓广】
如图3， $∠ A B D = ∠ B D E = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $B D = D E = 3$ ．请构造合理的数学模型，并借助模型求 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{{(3 - x)}^{2} + 9}$ $(x > 0)$ 的最小值．

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$t$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	……	$4$	$5$	$6$
$t^{2} - 3 t - 5$	$13$	$5$	$- 1$	……	$- 1$	$5$	$13$