山东省济南市天桥区2020-2021学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-03-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若 $a < b$ ，则下列结论不一定成立的是（）

A、 $a - 1 < b - 1$ B、 $2 a < 2 b$ C、 $- a > - b$ D、 $a^{2} < b^{2}$

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2. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（）

A、 $(x + 4) (x - 4) = x^{2} - 16$ B、 $x^{2} + 5 x - 1 = x (x + 5) - 1$ C、 $8 a^{2} b^{3} = 2 a^{2} \cdot 4 b^{3}$ D、 $x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$

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3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有（）

A、 B、 C、 D、

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4. 当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）

A、 $\frac{1}{x^{2} - 2}$ B、 $\frac{2}{x^{2} + 1}$ C、 $\frac{2}{x^{2}}$ D、 $\frac{1}{x + 2}$

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5. 把多项式x²+ax+b分解因式，得（x+1）（x-3）则a ， b的值分别是（）

A、a=2，b=3 B、a=-2，b=-3 C、a=-2，b=3 D、a=2，b=-3

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6. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $A B = 8$ ，将 $Δ A B C$ 沿 $C B$ 方向向右平移得到 $Δ D E F$ ．若四边形 $A B E D$ 的面积为16，则平移距离是（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $8$ D、 $16$

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7. 下列运算正确的是（）

A、 $\frac{2}{a - b} - \frac{a + b}{a^{2} - b^{2}} = \frac{1}{a - b}$ B、 $\frac{m}{a} - \frac{n}{b} = \frac{m - n}{a - b}$ C、 $\frac{b}{a} - \frac{b + 1}{a} = \frac{1}{a}$ D、 $\frac{a}{a - b} - \frac{b}{b - a} = 1$

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8. 关于x的方程 $\frac{2}{x - 2} + \frac{m x}{x^{2} - 4} = \frac{3}{x + 2}$ 会产生增根，则m的值为（）

A、 $0$ B、 $- 4$ C、 $0$ 或 $- 4$ D、 $- 4$ 或 $6$

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9. 若 $Δ A B C$ 的三边a、b、c满足 $a^{2} c^{2} - b^{2} c^{2} = a^{4} - b^{4}$ ，则 $Δ A B C$ 形状为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、等腰三角形或直角三角形

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10. 如图，函数 $y = k x + b$ 经过点 $A (- 3 ， 2)$ ，则关于x的不等式 $k x + b < 2$ 的解集为（）

A、 $x > - 3$ B、 $x < - 3$ C、 $x > 2$ D、 $x < 2$

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11. 若不等式组 ${\begin{cases} x + 8 < 4 x - 1 \\ x > m \end{cases}$ 的解集是x＞3，则m的取值范围是（）

A、m＞3 B、m≥3 C、m≤3 D、m＜3

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12. 如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ΔABF，连接EF，则线段EF的长为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $\sqrt{15}$

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二、填空题

13. 在平面直角坐标系中，点 $P (3 ， - 2)$ 关于原点对称的点的坐标是.

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14. $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ 分式的值等于0，则x＝．

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15. 分式方程 $\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{2 x + 1}$ 的解为．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $(0 ， 6)$ ，将 $Δ O A B$ 沿x轴向左平移得到 $Δ O^{'} A^{'} B^{'}$ ，点A的对应点 $A^{'}$ 落在直线 $y = - \frac{3}{4} x$ 上，则点B与其对应点 $B^{'}$ 间的距离为．

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17. 16x²+kxy+9y²是完全平方式，则k=.

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18. 如图，在等腰直角 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， O是斜边 $A B$ 的中点， $∠ D O E$ 为直角且绕点O转动，在转动过程中，若点D、E分别在直角边 $A C$ 、 $B C$ 上， $D E$ 交 $O C$ 于点P．则下列命题中真命题有：．（填序号）
⑴ $A D = C E$ ；（2） $S_{四边形 C D O E} = S_{Δ A B C}$ ；（3） $C D + C E = \sqrt{2} O A$ ；（4） $A D^{2} + B E^{2} = 2 O D^{2}$ ；⑸若 $A C = 2$ ，则 $\sqrt{2} < D E < 2$ ；（6） $S_{Δ D C E} \leq \frac{1}{4} S_{Δ A B C}$ ．

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三、解答题

19. 分解因式：

(1)、 $3 a x^{2} + 6 a x y + 3 a y^{2}$

(2)、 $4 a^{2} (x - y) + 9 b^{2} (y - x)$

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20. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x - 1 \leq 2 (x + 1) ， \\ \frac{x - 3}{2} < x - 1 . \end{array}$

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21. $\frac{6}{x^{2} - 9} + \frac{1}{x + 3}$

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22. 先化简，后求值： $(\frac{3 x}{x - 1} - \frac{x}{x + 1}) \div \frac{2 x}{x^{2} - 1}$ ；其中 $x = \sqrt{3} - 2$ ．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $Δ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 3 ， 5)$ ， $B (- 2 ， 1)$ ， $C (- 1 ， 3)$ ．

（ 1 ）若 $Δ A B C$ 经过平移后得到 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，已知点 $C_{1}$ 的坐标为 $(4 ， 0)$ ，画出图形并直接写出顶点 $A_{1}$ 的坐标；

（ 2 ）将 $Δ A B C$ 绕着点O按逆时针方向旋转 $90 °$ 得到 $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请画出 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

（ 3 ）在第（2）题中，请求出点C转到 $C_{2}$ 位置时所经过的路径长．

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24. 我校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的 $1.5$ 倍；用 $600$ 元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少 $10$ 本．

(1)、甲、乙两种图书的单价分别为多少元？

(2)、若学校计划购买这两种图书共 $40$ 本，且投入的经费不超过 $1050$ 元，则最多购买甲图书多少本？

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25. 观察下列式子的因式分解做法：
① $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$
② $x^{3} - 1$ $= x^{3} - x + x - 1$
$= x (x^{2} - 1) + x - 1$
$= x (x - 1) (x + 1) + (x - 1)$
$= (x - 1) [x (x + 1) + 1]$
$= (x - 1) (x^{2} + x + 1)$
③ $x^{4} - 1$ $= x^{4} - x + x - 1$
$= x (x^{3} - 1) + x - 1$
$= x (x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1)$
$= (x - 1) [x (x^{2} + x + 1) + 1]$
$= (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1)$
$⋯$

(1)、模仿以上做法，尝试对 $x^{5} - 1$ 进行因式分解；

(2)、观察以上结果，猜想 $x^{n} - 1 =$ ；（n为正整数，直接写结果，不用验证）

(3)、根据以上结论，试求 $7^{5} + 7^{4} + 7^{3} + 7^{2} + 7 + 1$ 的值．

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26. 在平面直角坐标系中，O为原点，点 $A (3 ， 0)$ ，点 $B (0 ， 4)$ ，把 $Δ A B O$ 绕点A顺时针旋转，得 $Δ A B^{'} O^{'}$ ，点B，O旋转后的对应点为 $B^{'}$ ， O．

(1)、如图①，当旋转角为 $90 °$ 时，求 $B B^{'}$ 的长；

(2)、如图②，当旋转角为 $120 °$ 时，求点 $O^{'}$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，边 $O B$ 上的一点P旋转后的对应点为 $P^{'}$ ，当 $O^{'} P + A P^{'}$ 取得最小值时，求点 $P^{'}$ 的坐标．（直接写出结果即可）

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27. 如图①，在正方形 $A B C D$ 中， $Δ A E F$ 的顶点E，F分别在 $B C$ ， $C D$ 边上，高 $A G$ 与正方形的边长相等，

(1)、求 $∠ E A F$ 的度数；

(2)、在图①中，连接 $B D$ 分别交 $A E$ 、 $A F$ 于点M、N，将 $Δ A D N$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 至 $Δ A B H$ 位置，连接 $M H$ ，得到图②．求证： $M N^{2} = M B^{2} + N D^{2}$ ；

(3)、在图②中，若 $A G = 12$ ， $B M = 3 \sqrt{2}$ ，则 $M N$ 的值为．

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