江西省宜春市高安市2020-2021学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-03-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列各组数中是勾股数的是（）

A、1， $\sqrt{3}$ ， $2$ B、 $12$ ， $16$ ， $20$ C、 $3^{2}$ ， $4^{2}$ ， $5^{2}$ D、 $0.5$ ， $1.2$ ， $1.3$

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2. 若 $\sqrt{1 - 3 x}$ 是二次根式，则x的值不可能是（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $0$ D、 $1$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3} = 5 \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{20} \div \sqrt{5} = 4$ C、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{4 \frac{1}{16}} = 2 \frac{1}{4}$

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4. 四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点O，下列条件中，能判定四边形 $A B C D$ 为正方形的是（）

A、 $O A = O B = O C = O D$ ， $A B = C D$ B、 $O A = O C$ ， $O B = O D$ ， $A C ⊥ B D$ C、 $O A = O B = O C = O D$ ， $A C ⊥ B D$ D、 $O A = O C$ ， $O B = O D$ ， $A B = B C$

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5. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，BD＝10，AC＝6，则OE的长为（　　）

A、1.5 B、2 C、2.5 D、3

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6. 如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（）

A、3种 B、4种 C、5种 D、6种

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二、填空题

7. 若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边的长为

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8. 已知 $x = 1 - \sqrt{2}$ ，则 $x^{2} - 2 x + 1$ 的值为．

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9. 《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB＋AC＝9尺，BC＝3尺，则AC=尺.

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10. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B = 50 °$ ，点E在 $C D$ 上，若 $A E = A C$ ，则 $∠ B A E =$ .

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11. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A D = 4$ ，点E为 $C D$ 边的中点，P为对角线 $B D$ 上一动点，则 $P C + P E$ 的最小值为．

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12. 矩形 $A B C D$ 中， $A B = 16$ ， $A D = 10$ ， E为射线 $D C$ 上一动点，连接 $A E$ ，将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折叠，当点D的对应点 $D^{'}$ 落在矩形 $A B C D$ 的对称轴上时，线段 $D E$ 的长为．

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三、解答题

13.

(1)、计算： ${(\sqrt{3} - 1)}^{2} - | \sqrt{3} - 2 | + \frac{\sqrt{24} - \sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

(2)、如图，在 $▱ A B C D$ 中，E，F是对角线 $B D$ 上的两点，且 $B F = D E$ ，求证： $A F = C E$ ．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 21$ ， $B C = 13$ ，点 $D$ 是 $A C$ 边上一点， $B D = 12$ ， $A D = 16$ .

(1)、求证： $B D ⊥ A C$ ；

(2)、若点 $E$ 是 $A B$ 边上的动点，连接 $D E$ ，求线段 $D E$ 的最小值.

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15. 有一道题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求式子 $\frac{a^{2} - 1}{a + 1} - \frac{\sqrt{a^{2} - 2 a + 1}}{a^{2} - a}$ 的值．
小明同学的解答如图：
解： $∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$
$∴ 原式 = \frac{(a + 1) (a - 1)}{a + 1} - \frac{\sqrt{{(a - 1)}^{2}}}{a (a - 1)} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ 第①步
$= a - 1 - \frac{(a - 1)}{a (a - 1)} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ 第②步
$= a - 1 - \frac{1}{a} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ 第③步
$= 2 - \sqrt{3} - 1 - (2 + \sqrt{3}) \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ 第④步
$= - 2 \sqrt{3} - 1 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ 第⑤步

(1)、小明同学的解答从第步开始出现不正确的，不正确的原因是；

(2)、请你写出符合题意解答过程．

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16. 已知矩形 $A B C D$ 中，点F在 $A D$ 边上，四边形 $C D E F$ 是平行四边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．

(1)、在图1中作出线段 $A F$ 的中点P；

(2)、在图2中画出 $△ B C D$ 的中线 $B M$ ．

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17. 在学习了《勾股定理》和《二次根式》后，数学学习小组进行了以“已知三角形三边的长度，求三形面积”为主题的探究活动，遇到了一道题：已知 $△ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $A C = \sqrt{5}$ ， $B C = 2 \sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

(1)、小明同学想到了利用正方形网格构造三角形来求面积．如图是 $5 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形顶点称为格点，边长均为 $1$ ．请你帮小明在网格中画出这个 $△ A B C$ ，要求三个顶点都在格点上，并直接写出 $△ A B C$ 的面积：．

(2)、小华同学想到了课本第16页“阅读与思考”介绍了的求三角形面积公式，其中a、b、c为三角形的三边， $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ ：① $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ （海伦公式）；② $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{^{} +^{} -^{}}{2})}^{2}]}$ （秦九韶公式）．请你选用其中一个公式求出这个 $△ A B C$ 的面积．

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18. 仔细观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
（Ⅰ） $O A_{1} = 1$ ， $O A_{2} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$ ， $O A_{3} = \sqrt{2 + 1^{2}} = \sqrt{3}$ ， $O A_{4} = \sqrt{3 + 1^{2}} = \sqrt{4}$ ， ……
（Ⅱ） $S_{1} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$ ， $S_{2} = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $S_{3} = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， ……

(1)、按以上规律，推算出 $O A_{10} =$ ；

(2)、若其中一个三角形的面积是 $\sqrt{5}$ ，则它是第个三角形；

(3)、按以上规律，用含n（n是正整数）的等式表示： $O A_{n} =$ ， $S_{n} =$ ；

(4)、试求出 $S_{1}^{2} + S_{2}^{2} + S_{3}^{2} + \cdot \cdot \cdot + S_{100}^{2}$ 的值．

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19. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.

(1)、求证：BE＝CD；

(2)、若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形.

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20. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．

(1)、如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C = 2 \sqrt{5}$ ， $B C = 4$ ，求证： $Δ A B C$ 是“美丽三角形”；

(2)、在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 4 \sqrt{3}$ ，若 $Δ A B C$ 是“美丽三角形”，求 $B C$ 的长．

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21. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 10$ cm， $B C = 6$ cm，若动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线 $A - C - B$ 运动，设运动时间为t秒 $(t > 0)$ ．

(1)、当点P在 $A B$ 边的垂直平分线上时，求t的值；

(2)、当点P在 $∠ B A C$ 的平分线上时，求t的值．

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22. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $E F$ 垂直平分对角线 $A C$ ，分别交 $A D$ ， $B C$ 于点E，F，垂足为O．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 为菱形；

(2)、若 $A B = 4$ ， $B C = 8$ ，求四边形 $A E C F$ 的面积；

(3)、在（2）的条件下，求线段 $E F$ 的长．

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23.

(1)、【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是；（只填序号）

(2)、【概念理解】如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $C B = C D$ ，问四边形 $A B C D$ 是垂美四边形吗？请说明理由．

(3)、【性质探究】如图1，垂美四边形 $A B C D$ 的两对角线交于点O，试探究 $A B$ ， $C D$ ， $B C$ ， $A D$ 之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；

(4)、【性质应用】如图3，分别以 $R t △ A C B$ 的直角边 $A C$ 和斜边 $A B$ 为边向外作正方形 $A C F G$ 和正方形 $A B D E$ ，连接 $C E$ ， $B G$ ， $G E$ ，已知 $A C = 8$ ， $A B = 10$ ，求 $G E$ 长．

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