福建省漳州市2022届高三毕业班数学第二次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2022-03-21 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 0 \leq x \leq 2}$ ， $B = {1 ， 2}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、{2} B、 ${1 ， 2}$ C、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$ D、 ${x | 0 \leq x \leq 2}$

查看试题解析
2. 复数z满足 $| z - (5 + 5 i) | = 2$ ，则z在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
3. 已知 $s i n (\frac{π}{6} - x) = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s (x + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

查看试题解析
4. 已知直线 $x + y - \sqrt{2} a = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 25$ 相交于A，B两点，则“ $| A B | < 6$ ”是“ $4 < a < 5$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
5. 已知 $△ A B C$ 是边长为2的正三角形， $P$ 为线段 $A B$ 上一点（包含端点），则 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{4} ， 2]$ B、 $[- \frac{1}{4} ， 4]$ C、 $[0 ， 2]$ D、 $[0 ， 4]$

查看试题解析
6. 伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线屋顶的一段近似看成离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 的双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - x^{2} = 1 (a > 0)$ 上支的一部分，点F是C的下焦点，若点P为C上支上的动点，则 $| P F |$ 与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

查看试题解析
7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (1 - a) x + a^{2} ， & x < 1 \\ 3^{x} ， & x \geq 1 \end{array}$ 与函数 $g (x) = l n x$ 的值域相同，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 1]$ C、 $[- 1 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 1] ∪ [2 ， + \infty)$

查看试题解析
8. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{3} = 3$ ，记 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1} + a_{n + 2}$ 且 $b_{n + 1} - b_{n} = 2$ ，则 $S_{31} =$ （）

A、171 B、278 C、351 D、395

查看试题解析

二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、曲线 $y = f (x)$ 的切线斜率可以是1 B、曲线 $y = f (x)$ 的切线斜率可以是 $- 1$ C、过点 $(0 ， 1)$ 且与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线有且只有1条 D、过点 $(0 ， 0)$ 且与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线有且只有2条

查看试题解析
10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为2， $M$ 为 $C C_{1}$ 的中点， $P$ 为侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 上的动点，且满足 $A M / /$ 平面 $A_{1} B P$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A M ⊥ B_{1} M$ B、 $C D_{1} / /$ 平面 $A_{1} B P$ C、动点 $P$ 的轨迹长为 $\frac{2 \sqrt{13}}{3}$ D、 $A M$ 与 $A_{1} B_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

查看试题解析
11. 关于函数 $f (x) = s i n | x | + | c o s x |$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2}]$ 单调递减 C、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， \sqrt{2}]$ D、当 $a \in (1 ， \sqrt{2})$ 时，方程 $f (x) = a$ 在 $[- π ， π]$ 有8个解

查看试题解析
12. 阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线与其弦 $A B$ 所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形 $A B C$ 的顶点C在抛物线上，且在过弦 $A B$ 的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的 $\frac{4}{3}$ .现已知直线 $y = - x + \frac{3}{2} p$ 与抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于A，B两点，且A为第一象限的点，E在A处的切线为l，线段 $A B$ 的中点为D，直线 $D C / / x$ 轴所在的直线交E于点C，下列说法正确的是（）

A、若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6 B、切线l的方程为 $2 x - 2 y + p = 0$ C、若 $4^{n - 1} \cdot A_{n} = S_{Δ A B C} (n \in N^{*})$ ，则弦 $A B$ 对应的抛物线弓形面积大于 $A_{1} + A_{2} + ⋯ + A_{n - 1} + \frac{4}{3} A_{n} (n \geq 2)$ D、若分别取 $A C ， B C$ 的中点 $V_{1}$ ， $V_{2}$ ，过 $V_{1}$ ， $V_{2}$ 且垂直y轴的直线分别交E于 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ，则 $S_{Δ A C C_{1}} + S_{Δ B C C_{2}} = \frac{1}{4} S_{Δ A B C}$

查看试题解析

三、填空题

13. 2021年电影《长津湖》累计票房逾57亿，该片点燃了每个人心中对英雄的崇敬之情，也更加显示出如今和平生活的来之不易.某影院记录了观看此片的70位观众的年龄，其中年龄位于区间 $[10 ， 20)$ 的有10位，位于区间 $[20 ， 30)$ 的有20位，位于区间 $[30 ， 40)$ 的有25位，位于区间 $[40 ， 50]$ 的有15位，则这70位观众年龄的众数的估计值为

查看试题解析
14. 已知 ${(2 x^{2} + y)}^{6}$ 的展开式中 $x^{8} y^{2}$ 的系数为

查看试题解析
15. 写出一个具有性质①②③的函数 $f (x) =$
① $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + ∞)$ ；② $f (x_{1} x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})$ ；③当 $x \in (0 ， + ∞)$ 时， $f^{'} (x) < 0$

查看试题解析
16. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 10$ ， $∠ A = \frac{π}{3}$ ，点E在边 $B C$ 上，且 $D C = C E$ .将 $△ C D E$ 沿 $D E$ 折起后得到四棱锥 $C^{'} - A B E D$ ，则该四棱锥的体积最大值为；该四棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为

查看试题解析

四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，在① $S_{n} + {(\frac{1}{2})}^{n - 1} = 2 (n \in N^{*})$ ② $a_{1} = 1$ ， $S_{n} + 2 a_{n + 1} = 2 (n \in N^{*})$ ， ③ $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}} = 2^{n} - 1 (n \in N^{*})$ 这三个条件中任选一个，解答下列问题：

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式：

(2)、若 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$

查看试题解析
18. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 平分 $∠ B A D$ ， $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{2} b c o s B + a c o s C + c c o s A = 0$

(1)、求B；

(2)、若 $A B = C D = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为2，求 $A D$

查看试题解析
19. 如图，圆柱 $O O_{1}$ 的轴截面 $A B B_{1} A_{1}$ 是一个边长为2的正方形，点D为棱 $B B_{1}$ 的中点， $C_{1}$ 为弧 $A_{1} B_{1}$ 上一点，且 $∠ C_{1} O_{1} B_{1} = \frac{π}{3}$

(1)、求三棱锥 $D - C_{1} O O_{1}$ 的体积；

(2)、求二面角 $C_{1} - O D - O_{1}$ 的余弦值.

查看试题解析
20. 漳州市某路口用停车信号管理，在某日 $9 ： 00$ 后的一分钟内有15辆车到达路口，到达的时间如下（以秒作单位）：1，4，7，10，14，17，20，22，25，28，30，33，36，38，41.记 $k = 1$ ， 2，3，…，15， $A (k)$ 表示第k辆车到达路口的时间， $W (k)$ 表示第k辆车在路口的等待时间，且 $W (1) = 0$ ， $W (i + 1) = m a x {0 ， W (i) + A (i) - A (i + 1) + 3}$ ， $(i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 14)$ ，记 $M = m a x {a ， b}$ ， M表示a，b中的较大者.

(1)、从这15辆车中任取2辆，求这两辆车到达路口的时间均在15秒以内的概率；

(2)、记这15辆车在路口等待时间的平均值为 $\bar{W}$ ，现从这15辆车中随机抽取1辆，记 $ξ = W (k) - \bar{W}$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；

(3)、通过调查，在该日 $10 ： 00$ 后的一分钟内也有15辆车到达路口，到达的时间如下：1，4，10，14，15，16，17，18，19，21，25，28，30，32，38.现甲驾驶车辆欲在 $9 ： 00$ 后一分钟内或 $10 ： 00$ 后一分钟内某时刻选择一个通过该路口，试通过比较 $9 ： 00$ 和 $10 ： 00$ 后的一分钟内车辆的平均等待时间，帮甲做出选择.

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $2 \sqrt{10}$ ，且过点 $P (\sqrt{5} ， 1)$

(1)、求 $C$ 的方程：

(2)、设直线 $y = k x + m (m > 0)$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，交C于不同两点 $A$ ， $B$ ，点 $N$ 与 $M$ 关于原点对称， $B O ⊥ A N$ ， $Q$ 为垂足.问：是否存在定点 $M$ ，使得 $| N Q | · | N A |$ 为定值？

查看试题解析
22. 已知 $f (x) = x^{2} - x - a l n x$

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、当 $x \geq 1$ 时， $f (2 x - 1) - 2 f (x) \geq 0$ ，求a的取值范围

查看试题解析