福建省四地市2022届高三数学第一次质量检测试卷

试卷更新日期：2022-03-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $a \in R$ ，若集合 $M = {1 ， a} ， N = {- 1 ， 0 ， 1}$ ，则“ $M \subseteq N$ ”是“ $a = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 直线 $x + a y + b = 0$ 经过第一、二、四象限，则（）

A、 $a < 0$ ， $b < 0$ B、 $a < 0$ ， $b > 0$ C、 $a > 0$ ， $b < 0$ D、 $a > 0$ ， $b > 0$

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角为 $60 °$ ，且 $| \vec{a} | = 1$ ， $| 2 \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{19}$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、5 B、 $3 \sqrt{2}$ C、4 D、3

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4. 已知互不重合的直线 $a$ ， $b$ ，互不重合的平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，给出下列四个命题，错误的命题是（）

A、若 $a / / α$ ， $a / / β$ ， $α ∩ β = b$ ，则 $a / / b$ B、若 $α ⊥ β$ ， $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、若 $α ⊥ β$ ， $α ⊥ γ$ ， $β ∩ γ = a$ ，则 $a ⊥ α$ D、若 $α / / β$ ， $a / / α$ ，则 $a / / β$

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5. 函数 $y = \frac{2^{x} - 2^{- x}}{x^{3} - x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝（视为三条线段），想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形，经测量，其长度分别为 $3 c m$ 、 $4 c m$ 、 $6 c m$ ，则（）

A、能作出一个锐角三角形 B、能作出一个直角三角形 C、能作出一个钝角三角形 D、不能作出这样的三角形

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7. 已知 $a ＞ 0 ， b ＞ 0$ ，且 $(a - 2) (b - 1) = \frac{9}{2}$ ，则a+2b的最小值为（）

A、 $3 + \frac{3 \sqrt{14}}{2}$ B、8 C、 $4 + \frac{9 \sqrt{2}}{2}$ D、10

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8. 已知点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $A$ 、 $B$ 两点，且满足 $A F_{1} ⊥ A B$ ， $\frac{| A F_{1} |}{| A B |} = \frac{4}{3}$ ，则该椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 与函数 $g (x) = c o s (2 x + θ)$ 的图象的对称轴相同，则（）

A、 $ω$ 的值可以为4 B、 $θ$ 的值可以为 $\frac{2 π}{3}$ C、函数 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{π}{3} + k π ， \frac{π}{6} + k π] ， k \in Z$ D、函数 $f (x)$ 的所有零点的集合为 ${x | x = \frac{k π}{2} + \frac{π}{6} ， k \in Z}$

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10. 已知随机事件A，B发生的概率分别为 $P (A) = 0.3 ， P (B) = 0.6$ ，下列说法正确的有（）

A、若 $P (A B) = 0.18$ ，则A，B相互独立 B、若A，B相互独立，则 $P (B | A) = 0.6$ C、若 $P (B | A) = 0.4$ ，则 $P (A B) = 0.12$ D、若 $A \subseteq B$ ，则 $P (A | B) = 0.3$

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11. 下图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右支与直线 $x = 0 ， y = 4 ， y = - 2$ 围成的曲边四边形 $A B M N$ 绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为 $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$ ，下底外直径为 $\frac{2 \sqrt{39}}{3}$ ，双曲线C的左右顶点为 $D ， E$ ，则（）

A、双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、双曲线 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ 与双曲线C有相同的渐近线 C、存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点 D、双曲线C上存在无数个点，使它与 $D ， E$ 两点的连线的斜率之积为3

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{3 l n x}{x - 3}$ ，令 $a = f (l o g_{4} 5) ， b = f (l o g_{3} 4) ， c = f (3^{l n π})$ ，则（）

A、当 $x \in (3 ， + \infty)$ ， $f (x) > 0$ 恒成立 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(1 ， 3)$ 上单调递增 C、a，b，c中最大的是c D、a，b，c中最小的是a

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三、填空题

13. 复数 $z_{1} = c o s x - i s i n x ， z_{2} = s i n x - i c o s x$ ，则 $| z_{1} \cdot z_{2} | =$ ．

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14. 若二项武 ${(^{} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值是．

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15. 意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， $⋯$ ，若从该数列的前96项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为．

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16. 已知A，B，C，D是体积为 $\frac{20 \sqrt{5}}{3} π$ 的球体表面上四点，若 $A B = 4$ ， $A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，且三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $2 \sqrt{3}$ ，则线段 $C D$ 长度的最大值为．

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四、解答题

17. 在下列条件：
①数列 ${a_{n}}$ 的任意相邻两项均不相等， $a_{1} = 2$ ，且数列 ${a_{n}^{2} - a_{n}}$ 为常数列；② $S_{n} = \frac{1}{2} (a_{n} + n + 1) (n \in N^{*})$ ；③ $a_{1} = 1 ， S_{n} = 2 S_{n - 1} + 1 (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ 中，任选一个条件，补充在横线上，并回答下面问题．

已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， ________，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式与前n项和 $S_{n}$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c．已知 $c o s 2 B = 3 c o s (A + C) + 1$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = 5 \sqrt{3} ， a = 10$ ，求 $s i n A s i n C$ 的值．

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A A_{1} = A B = B C = 2$ ．

(1)、求证： $B C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C$ ；

(2)、记 $B_{1} C$ 和 $B C_{1}$ 的交点为M，点N在线段 $A_{1} B$ 上，满足 $M N / /$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ，求直线 $N C_{1}$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的正弦值．

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20. 某次围棋比赛的决赛，由甲乙两人争夺最后的冠军，决赛先进行两天，每天实行三盘两胜制，即先赢两盘者获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲乙中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天双方各赢一天，则第三天只进行一盘附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每盘比赛甲获胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，每盘比赛的结果没有平局且结果互相独立．

(1)、记第一天需要进行的比赛盘数为X．
（ⅰ）求 $E (X)$ ，并求当 $E (X)$ 取最大值时p的值；
（ⅱ）结合实际，谈谈（ⅰ）中结论的意义；

(2)、当 $p = \frac{1}{2}$ 时，记总共进行的比赛盘数为Y，求 $P (Y \leq 5)$ ．

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21. 设点 $F (1 ， 0)$ ，动圆经过点F且和直线 $x = - 1$ 相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线E．

(1)、求曲线E的方程；

(2)、过点F的直线交曲线E于A，B两点，另一条与直线 $A B$ 平行的直线交x轴于点M，交y轴于点N，若 $△ N A B$ 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，求点M的横坐标．

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22. 已知函数 $f (x) = (e^{- x} - 2) (x^{2} - k) - 2 x - 2$ ，其中 $k \in R$ ．

(1)、当 $k = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程；

(2)、若对任意 $x \in [- 1 ， + \infty)$ ，有 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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