福建省厦门市2022届高三毕业班3月第二次质量检测数学试题

试卷更新日期：2022-03-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $\frac{3 + i}{1 - i}$ 的虚部为（）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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2. 一个斜边长为 $\sqrt{2}$ 的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的体积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ D、π

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3. 某校高三有1000人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布N(105，σ²)，且成绩优良（不低于120分）的人数为360，则此次考试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为（）

A、360 B、640 C、720 D、780

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4. 点 $M (3 ， 2 \sqrt{3})$ 在抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上， $F$ 为焦点，直线 $M F$ 与准线相交于点 $N$ ，则 $| F N | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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5. 埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长：如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为7.2°.因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的．已知骆驼一天走100个视距段，从亚历山大城到赛伊尼须走50天．一般认为一个视距段等于157米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（）

A、37680千米 B、39250千米 C、41200千米 D、42192千米

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6. 为充分感受冬奥的运动激情，领略奥运的拼搏精神，甲、乙、丙三人进行短道速滑训练．已知每一场比赛甲、乙、丙获胜的概率分别为 $\frac{1}{6}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ，则3场训练赛过后，甲、乙获胜场数相同的概率为（）

A、 $\frac{11}{72}$ B、 $\frac{5}{24}$ C、 $\frac{7}{24}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 平面四边形ABCD中，AB=1，AC= $\sqrt{3}$ ， AC⊥AB， ∠ADC= $\frac{2 π}{3}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{A B}$ 的最小值为（）

A、- $\sqrt{3}$ B、-1 C、- $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、- $\frac{1}{2}$

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8. 已知 $a = l o g_{2} 3$ ， $b = 1 n 3$ ，c= $\sqrt{3}$ ，则（）

A、a<b<c B、b<a<c C、b<c<a D、c<a<b

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二、多选题

9. 四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，AA₁⊥平面ABCD，则（）

A、直线AD与直线B₁D₁所成角为45° B、直线AA₁与直线CC₁异面 C、平面ABB₁A₁⊥平面ADD₁A₁ D、CA₁⊥AD

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10. 定义在R上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = - f (x)$ ，且当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = 1 - x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是周期函数 B、 $f (x)$ 在（－1，1)上单调递减 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 3$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象关于点（2，0)对称

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11. 已知P是圆O：x²+y²=4上任意一点，定点A在x轴上，线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当P在圆O上运动时，Q的轨迹可以是（）

A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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12. 已知数列{an}满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + a_{n}$ ，则（）

A、{an}是递增数列 B、 $a_{n} \geq n$ C、 $a_{2022} \leq 2^{2021}$ D、 $\frac{1}{a_{1} + 1} + \frac{1}{a_{2} + 1} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n} + 1} < 1$

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三、填空题

13. 集合A=[1，6]，B={x|y= $\sqrt{x - a}$ }，若A $\subseteq$ B，则实数a的范围是.

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14. 2021年秋季，教育部明确要求在全国中小学全面推行课后延时服务，实行“5+2”服务模式．某校开设了篮球、围棋和剪纸三门课后延时服务课程，某班的4个同学每人选择了其中的一门课程，若每门课程都有人选，则不同的选课方案种数为.（用数字作答）

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15. 若函数 $f (x) = l n x$ 和 $g (x) = x^{2} + a x (a \in R)$ 的图象有且仅有一个公共点P，则g(x)在P处的切线方程是.

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16. 函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图象关于点（ $\frac{π}{12}$ ， 0)对称，且f(0)+f( $\frac{π}{2}$ )=0，则φ= ， ω的最小值为．

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四、解答题

17. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 $\frac{s i n B}{s i n A} + \frac{c o s B}{c o s A} = \frac{2 c}{a}$

(1)、求A；

(2)、若a=2，D为BC的中点，AD²=AB·AC，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 和递增的等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{4} = b_{1} - 4 ， a_{7} = b_{2} = 3 ， a_{10} = b_{3}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n}$ = $\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，记数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明：－ $\frac{5}{9}$ ≤ $T_{n}$ ≤ $\frac{4}{9}$ .

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19. 在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形AA₂B₁B是菱形，AB⊥AC，平面 $A A_{1} B_{1} B ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面A₁B₁C₁与平面AB₁C的交线为l.

(1)、证明： $A_{1} B ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、已知∠ABB₁=60°，AB=AC=2.l上是否存在点P，使A₁B与平面ABP所成角为30°?若存在，求B₁P的长度；若不存在，说明理由．

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20. 一个车间为了规定工时定额，需要确定一台机器持续加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如表所示：
零件数x/个
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
时间y/分钟
76
85
92
95
100
110
115
121
125
131
参考数据： $\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 38500 ， \sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 1050 ， \sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i} = 62700$
附：对于一组数据（x₁ ， y₁)，(x₂ ， y₂)，·，(xn，yn)，其回归直线 $y = \hat{b} x + \hat{a}$ a的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(_{x} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

(1)、通过数据分析，发现y与x之间呈线性相关关系，求y关于x的回归方程，并预测持续加工480个零件所花费的时间；

(2)、机器持续工作，高负荷运转，会影响产品质量．经调查，机器持续工作前6小时内所加工出来的零件的次品率为0.1，之后加工出来的零件的次品率为0.2.(机器持续运行时间不超过12小时）已知每个正品零件售价100元，次品零件作废，持续加工x个零件的生产成本 $P = 0.01 x^{2} + 66 x$ (单位：元）．根据（1）的回归方程，估计一台机器持续工作多少分钟所获利润最大？（利润＝零件正品数 $\times$ 售价－生产成本）

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21. 已知 $g (x)$ 是函数 $f (x) = x l n x - \frac{1}{2} a x^{2}$ (a∈R)的导函数．

(1)、讨论 $g (x)$ 的单调性；

(2)、若f(x)有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ ，且 $f (x_{2}) \geq \frac{e^{2}}{2}$ ，求a的取值范围．

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22. 已知椭圆Γ： $\frac{x^{2}}{a_{}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{}^{2}}$ =1(a>b>0)的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，过F₂作不平行于坐标轴的直线交Γ于A， B两点，且 $△$ ABF₁的周长为4 $\sqrt{6}$ .

(1)、求Γ的方程；

(2)、若AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，直线AN与BM交于点C，求 $△$ ABC面积的最大值．

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零件数x/个	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
时间y/分钟	76	85	92	95	100	110	115	121	125	131