百师联盟2022届高三下学期理数2月开年摸底联考全国卷1

试卷更新日期：2022-03-21 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {y | y = 2^{x} ， x \in R}$ ， $B = {x | x^{2} \leq 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 $[- 2 ， 0)$ C、 $[0 ， 2]$ D、 $(0 ， 2]$

查看试题解析
2. 已知复数z满足 $z (1 + i) = 2 i$ （i为虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、2

查看试题解析
3. 若 $0 < a < 1$ ，则“ $\log_{a} | x | > \log_{a} | y |$ ”是“ $a^{x} > a^{y}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} (x - 1) ， x > 2 \\ 2^{x} - 3 ， x \leq 2 \end{array}$ ，若 $f (m) = 5$ ，则 $m =$ （）

A、3 B、4 C、32 D、33

查看试题解析
5. 公园中有一块如图所示的五边形荒地，公园管理部门计划在该荒地种植126棵观赏树，若1至6六个区域种植的观赏树棵数成等比数列，且前3个区域共种植14棵，则第5个区域种植的观赏树棵数为（）

A、16 B、28 C、32 D、64

查看试题解析
6. 已知 $(1 + 2 x^{2}) {(1 - \frac{a}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为61，则 $a =$ （）

A、±2 B、 $\pm \sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

查看试题解析
7. 建在水源不十分充足的地区的火电厂为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统（冷却塔），以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用．下图是世界最高的电厂冷却塔——中国国家能源集团胜利电厂冷却塔，该冷却塔高225米，创造了“最高冷却塔”的吉尼斯世界纪录．该冷却塔的外形可看作双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图：已知直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 为该双曲线的两条渐近线， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 向上的方向所成的角的正切值为 $\frac{5}{12}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、5 C、 $\sqrt{26}$ D、 $2 \sqrt{6}$

查看试题解析
8. 如图，正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影为底面正方形的中心）P-ABCD中， $A B = 4$ ，点E为PB中点，若CE与PD所成的角余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则四棱锥P-ABCD的体积为（）

A、 $\frac{32 \sqrt{2}}{3}$ B、 $16 \sqrt{2}$ C、 $\frac{32}{3}$ D、 $\frac{16}{3}$

查看试题解析
9. 已知D，E为 $△ A B C$ 所在平面内的点，且 $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A D}$ ， $\vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B C} = 2 \vec{B E}$ ，若 $\vec{C E} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则 $\frac{n}{m} =$ （）

A、-3 B、3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

查看试题解析
10. 将函数 $g (x) = \frac{1}{2^{| ω x - φ |}} A s i n ω x (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的图象向左平移 $\frac{φ}{ω}$ 个单位后得到函数 $y = f (x)$ 的图象，若 $y = f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，且 $f (- 1) = f (3) = 0$ ，则 $ω$ 的可能取值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、1 C、 $\frac{3 π}{2}$ D、π

查看试题解析
11. 已知直线 $l$ ： $y = 2 \sqrt{2} x - \sqrt{2} p$ 与抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，点A，B在准线上的射影分别为点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，若四边形 $A_{1} A B B_{1}$ 的面积为 $27 \sqrt{2}$ ，则 $p =$ （）

A、2 B、4 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

查看试题解析
12. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 285$ ， $n a_{n} = (n - 1) a_{n + 1} + 101 (n \in N^{*})$ ，当数列 ${a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2}} (n \in N^{*})$ 的前 $n$ 项和取得最大值时， $n$ 的值为（）

A、53 B、49 C、49或53 D、49或51

查看试题解析

二、填空题

13. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y - 1 \leq 0 \\ y \leq 1 \\ x \geq 0 \end{array}$ ，设 $z = x - 2 y$ ，则 $z$ 最小值为.

查看试题解析
14. 小明用某款手机性能测试app对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，x，y，93，95，97，99，已知总体的中位数为90，若要使该总体的标准差最小，则 $x - y =$ .

查看试题解析
15. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $P A = A B = 2$ ，若三棱锥的外接球体积为 $4 \sqrt{3} π$ ，则异面直线 $P B$ 与 $A C$ 所成角为.

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} x + 2 c o s x$ 的图象上存在点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 使得 $e^{f (x_{0})} - a = f (x_{0})$ ( $e$ 为自然对数的底数)，则实数 $a$ 的取值范围为.

查看试题解析

三、解答题

17. 在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $a = 2 b$ ，且 $2 c s i n B = a c o s (C - \frac{π}{6})$ .

(1)、求角C；

(2)、E为三角形ABC所在平面内的一点， $\vec{A E} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ，且 $| \vec{A E} | = 2$ ，求线段CE的长.

查看试题解析
18. 在东京奥运会中，甲，乙、丙三名跳水远动员参加小组赛，已知甲晋级的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，乙、丙晋级的概率均为 $q (0 < q < 1)$ ，且三人是否晋级相互对立.

(1)、若甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率也相等，求 $p$ ， $q$ ；

(2)、若 $p = \frac{1}{2}$ ，记三个人中晋级的人数为 $ξ$ ，若 $ξ = 0$ 时的概率和 $ξ = 3$ 时的概率相等，求 $E (ξ)$ .

查看试题解析
19. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A_{1} A D D_{1}$ 为矩形，且平面 $A_{1} A D D_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ∥ C D$ ， $A B = A D = A_{1} A = \frac{1}{2} C D$ ， $∠ D A B = \frac{π}{2}$ ， $M$ ， $E$ 分别为 $A D_{1}$ ， $B_{1} C$ 的中点.

(1)、证明： $M E ∥$ 平面 $D C C_{1} D_{1}$ ；

(2)、求 $A E$ 与平面 $B_{1} B C C_{1}$ 所成的角的正弦值.

查看试题解析
20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过左焦点和上顶点的直线 $l$ 与圆 ${(x - \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = 3$ 相切.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $m$ ： $y = k x + n (k > 0 ， n > 0)$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，且直线 $O A$ ， $O B$ ， $A B$ 的斜率之和为0.求三角形 $O A B$ 面积的最大值.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = a e^{a x} + a (a > 0)$ ， $g (x) = 2 (x + \frac{1}{x}) l n x$ .

(1)、若 $f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线与 $g (x)$ 在点 $(1 ， g (1))$ 处的切线互相平行，求实数 $a$ 的值；

(2)、若对 $\forall x > 0$ ， $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系：xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + t c o s α \\ y = t s i n α \end{array}$ （t为参数， $0 \leq α < π$ ），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ = 4 c o s θ + 2 s i n θ$ ．

(1)、求曲线C的直角坐标方程；

(2)、点 $P (2 ， 0)$ ，直线l与曲线C交于A，B两点，若 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |} = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$ ，求直线l的普通方程．

查看试题解析
23. 已知 $f (x) = | a^{2} x + 1 |$ ， $g (x) = | 2 - \frac{2}{a} x |$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) - g (x) ≥ - 1$ 的解集；

(2)、若 $a > 0$ ， $f (1) ≤ E$ ， $g (1) ≤ F$ ，证明： $E + F ≥ 2$ ．

查看试题解析